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Oeuvre numérisée par Marc Szwajcer

 

DE LA MESURE DU CERCLE.

 

 

 

OEUVRES

D'ARCHIMÈDΕ,

TRADUITES LITTÉRALEMENT,

AVEC UN COMMENTAIRE,

PAR F. PEYRARD,

Professeur de Mathématiques et d'Astronomie au Lycée Bonaparte ;

SUIVIES

D'un Mémoire du Traducteur, sur un nouveau Miroir Ardent,

et d'un autre Mémoire de M. Delambre, sur l'Arithmétique des Grecs.

OUVRAGΕ APPROUVÉ PAR L'INSTITUT ET ADOPTÉ PAR LE GOUVERNEMENT

POUR LES BIΒLIOTHÈQUES DΕS LYCÉES.

DÉDIÉ A SA MAJESTÉ L'EMPEREUR ET ROI.

A PARIS,

CHEZ FRANÇOIS  BUISSON,   LIBRAIRE-ÉDITEUR,

RUE   GÎT-LE-COEUR,    N°    10,   ET  CI-DΕVANT   RUE   HAUTE-FEUILLE,   N°   30.

M DCCC VII

PRÉFACE

DΕ LA SPHÈRE ET DU CYLINDRE.

LIVRE PREMIER.
LIVRE DEUXIÈME

L'ARENAIRE

DE LA QUADRATURE DE LA PARABOLE.

DES HÉLICES

DE L'ÉQUILIBRE DES PLANS OU DE LEURS CENTRES DE GRAVITÉ.

LIVRE PREMIER
LIVRE DEUXIÈME

DES CONOÏDES ET DES SPHÉROÏDES.

LEMMES

DES CORPS QUI SONT PORTÉS SUR UN FLUIDE. (2 livres)

 

 

 

 

 

ARCHIMEDE

DE LA MESURE DU CERCLE.

 

PROPOSITION PREMIÈRE.

Un cercle quelconque est égal à un triangle rectangle dont un des côtés de l'angle droit est égal au rayon de ce cercle, et dont l'autre côté de l'angle droit est égal à la circonférence de ce même cercle.

Que ABΓΔ soit le cercle proposé. Je dis que ce cercle est égal au triangle E.

 

 

Que le cercle soit plus grand, si cela est possible. Inscrivons dans ce cercle le carré AΓ, et partageons les arcs en deux parties égales jusqu'à ce que la somme des segments restants soit plus petite que l'excès du cercle sur le triangle (1, 6); on aura une figure rectiligne qui sera encore plus grande que le triangle (α). Prenons le centre N, et menons la perpendiculaire NΞ ; la perpendiculaire NΞ sera plus petite qu'un des côtés de l'angle droit du triangle E. Mais le contour de la figure rectiligne est encore plus petit que l'autre côté de l'angle droit de ce même triangle, puisque le contour de cette figure est plus petit que la circonférence du cercle (1, 1). Donc la figure rectiligne est plus petite que le triangle, ce qui est absurde (β).

Que le cercle soit plus petit que le triangle E, si cela est possible. Circonscrivons un carré à ce cercle, et partageons les arcs en deux parties égales, et par les points de division, menons des tangentes. Puisque l'angle OAΡ est droit, la droite est plus grande que la droite MΡ, à cause que est égal à ΡA. Donc le triangle ΡOΠ est plus grand que la moitié de la figuré OZAM (γ). Que les segments restants soient tels que ΡZA et que la somme de ces segments soit moindre que l'excès du triangle E sur le cercle ABΓΔ. La figure rectiligne sera encore plus petite que le triangle E. Ce qui est absurde, puisque cette figure est plus grande, à cause que NA est égale à la hauteur du triangle, et que le contour de cette figure est plus grand que la base de ce même triangle.

Donc le cercle est égal au triangle E.

PROPOSITION II.

Un cercle est au carré construit sur son diamètre, à très peu de chose près, comme 11 est à 14.

 

Soit le cercle dont le diamètre est a AB. Circonscrivons à ce cercle le carré ΓHΔ; que la droite ΔE soit double du coté ΓΔ, et que EZ en soit la septième partie, Puisque le triangle AΓE est au triangle AΓΔ comme 21 est à 7, et que le triangle AΓΔ est au triangle AEZ comme 7 est à 1, le triangle AΓZ sera au triangle AΓΔ comme 22 est à 7. Mais le carré ΓH est quadruple du triangle AΓΔ; donc le triangle AΓZ est au carré de ΓH comme 22 est à 28; ou comme 11 est à 14. Mais le triangle AΓZ est égal au cercle AB, puisque la hauteur AΓ est égale au rayon du cercle, et que sa base est égale à la circonférence du même cercle, cette circonférence étant, à peu de chose près, égale au triple du diamètre réuni au septième de ce diamètre, ainsi que cela sera démontré; donc le cercle est au carré ΓH, à très peu de chose près, comme 11 est à 14.

PROPOSITION III.

La circonférence d'un cercle quelconque est égale au triple du diamètre réuni à une certaine portion du diamètre, qui est plus petite que le septième de ce diamètre, et plus grande que les 10/71e de ce même diamètre.

Soit le cercle dont AΓ est le diamètre et dont le point E est le centre ; que la droite ΓΛZ soit une tangente, et que l'angle ZEΓ soit la troisième partie d'un angle droit La droite EZ sera à la droite ZΓ comme 306 est à 153; et la raison de EΓ à ΓZ sera plus grande que la raison de 265 à 153(α).

 

Partageons l'angle ZEΓ en deux parties égales par la droite EH ; la droite ZE sera à la droite EΓ comme ZH est à HΓ. Donc, par permutation et par addition, la somme des droites ZE, EΓ est à la droite ZΓ comme EΓ est à ΓH. Donc la raison de la droite ΓE à la droite ΓH est plus grande que la raison de 571 à 153. Donc la raison du carré de EH au carré de HΓ est plus grande que la raison de 349450 à 23409, et la raison de EH à HΓ plus grande que la raison de 591 1/8 à 153 (β).

Partageons l'angle HEΓ en deux parties égales par la droite EH ; la raison de EΓ à ΓΘ sera plus grande que la raison de 1162 à 153. Donc la raison de ΘE à ΘΓ est plus grande que la raison de 1162 1/8 à 153.

Partageons encore l'angle ΘEΓ en deux parties égales par la droite EK ; la raison de EΓ à ΓK sera, plus grande que la raison de 2334 ¼ à 153. Donc la raison de EK à ne est plus grande que la raison de 2339 ¼ à 153.

Partageons enfin l'angle KEΓ en deux parties égales par la droite ΛE ; la raison de à ΛΓ sera plus grande que la raison de 4673 ½ à 153.

Donc, puisque l'angle ZEΓ qui est la troisième partie d'un angle droit, a été partagé quatre fois en deux parties égales, l'angle ΛEΓ sera la quarante-huitième partie d'un angle droit. Construisons au point E un angle ΓEM égal à l'angle ΛEΓ et prolongeons ZΓ vers le point M ; l'angle ΛEM sera la vingt-quatrième partie d'un angle droit. Donc la droite ΛM est le côté d'un polygone de 96 côtés, circonscrit au cercle.

Donc, puisque nous avons démontré que la raison de à ΓΛ est plus grande que la raison de 4673 ½ à 153, et à cause que AΓ est double de EΓ, et ΛM double de ΓΛ, la raison de AΓ à ΛM sera encore plus grande que la raison de 4673 ½ à 153. Donc la raison de la droite AΓ au contour d'un polygone de 96 côtés est plus grande que la raison de 4673 ½ à 14688.

Donc la raison du contour de ce polygone à son diamètre est moindre que la raison de 14688 à 4673 ½. Mais parmi ces deux nombres, le premier contient trois fois le second avec un reste qui est de 667 ½, et ce reste est plus petit que la y partie du nombre 4673 ½ ; donc le contour du polygone circonscrit contient le diamètre trois fois, plus une partie de ce diamètre qui est moindre que sa septième partie et demie. Donc, à plus forte raison, la circonférence du cercle est moindre que le triple du diamètre augmenté d'un septième et demi de ce même diamètre.

Soit le cercle dont AΓ est le diamètre. Que l'angle BAΓ soit la troisième partie d'un angle droit; la raison de AB à BΓ sera moindre que la raison de 1351 à 780 ; et la raison de AΓ à ΓB sera la même que celle de 1560 à 780.

 

Partageons l'angle BAΓ en deux parties égales par la droite AH. Puisque l'angle BAH est non seulement égal à l'angle HΓB, mais encore à l'angle HAΓ, l'angle HΓB sera égal à l'angle HAΓ. Mais l'angle droit AHΓ est commun; donc le troisième angle HZΓ sera égal au troisième angle AΓH. Donc les triangles AHΓ, ΓHZ sont équiangles; donc AH est à HΓ comme ΓH à HZ, et comme est à ΓZ. Mais AΓ est à ΓZ comme la somme des droites ΓA, AB est à la droite BΓ ; donc la somme des droites BA, AΓ est à la droite BΓ comme AH est à HΓ. Donc la raison de AH à HΓ est moindre que la raison de 2911 à 780, et la raison de AΓ à ΓH moindre que la raison de 3013 ¾ à 780.

Partageons l'angle ΓAH en deux parties égales par la droite AΘ ; la raison de AΘ à ΘΓ sera pareillement moindre que la raison de 5924 ¾ à 780, ou bien que la raison de 1823 à 240 ; car ces deux derniers nombres sont chacun les 4/13 des deux premiers. Donc la raison de AΓ à ΓK est moindre que la raison de 1838 9/11e à 240.

Partageons encore l'angle ΘAΓ en deux parties égales par la droite KA ; la raison de KA à KΓ sera moindre que la raison de 3661 9/11e à 240, ou bien que la raison de 1007 à 66; car ces deux derniers nombres sont chacun les 11/40e des deux premiers. Donc la raison de AΓ à ΓΛ est moindre que la raison de 1009 1/6 à 66.

Partageons enfin l'angle KAΓ en deux parties égales par la droite ΛA ; la raison de à ΛΓ sera moindre que la raison de 2016 1/6 à 66, et la raison de AΓ à ΓΛ moindre que la raison de 2017 ¼ à 66.

Donc la raison de AΓ à ΓA est plus grande que la raison de 66 à 2017 ¼. Donc, la raison du contour du polygone au diamètre est plus grande que la raison de 6336 à 2017 ¼. Mais parmi ces nombres, le premier contient le second trois fois avec un reste qui est plus grand que les 10/71e du second. Donc le contour d'un polygone de 96 côtés inscrit dans un cercle est plus grand que le triple de son diamètre augmenté des 10/71e de ce diamètre. Donc, à plus forte raison, la circonférence du cercle est plus grande que le triple du diamètre augmenté des 10/71e de ce diamètre.

Donc, la circonférence d'un cercle est égale au triple de son diamètre augmenté d'une portion de son diamètre qui est plus petite que le septième de ce diamètre et plus grande que les 10/71e de ce même diamètre.

FIN DE LA MESURE DU CERCLE.

COMMENTAIRE SUR LA MESURE DU CERCLE.

 

PROPOSITION PREMIÈRE.

(α) En effet, puisque la somme des segments restants est égale au cercle moins la figure rectiligne inscrite, le cercle moins cette figure rectiligne sera plus petit que le cercle moins le triangle. Donc la figure rectiligne est plus grande que le triangle.

(β) Car nous venons de démontrer que la figure rectiligne est plus grande que ce triangle.

(γ) En effet, puisque OΡ > ΡM, le triangle OAΡ est plus grand que le triangle ΡAM ; par la même raison le triangle OAΠ est plus grand que le triangle ΠAZ.

PROPOSITION III

(α) Car le sinus du tiers d'un angle droit étant égal à la moitié du rayon, et le rayon étant au sinus comme la sécante est à la tangente, il est évident que EZ sera double de ZΓ, c'est-à-dire que EZ : ZΓ :: 306 : 153. Mais ZE = 306, et ZΓ = i53 ; donc la droite ΓE égalera ΣΘΡ (3o6²— 153²) c'est-à-dire 265 et une fraction. Donc TE : ZΓ > 265 : 153.

(β) Puisque la raison de ΓE : ΓH > 571 : 153, il est évident que si ΓH vaut 153, la droite ΓE surpassera 571. Donc ΓE² + ΓH² : ΓH² > 571² + 153² : 153. Mais ΓE² + ΓH² = EH² ; donc EH² : ΓH² > 571² + 153² : 153² ; c'est-à-dire, EH² : ΓH² > 349450 : 23409; et si l’on extrait les racines carrées, on aura

EH : ΓH > 591 1/8 : 153.

 

 

FIN DU COMMENTAIRE SUR LA MESURE BU CERCLE.