LIVRE XIII

CHAPITRE PREMIER

Citation de la Physique; utilité de l'examen des opinions antérieures sur la substance immobile et éternelle, en dehors des choses sensibles; deux doctrines différentes sur cette question; théorie des êtres mathématiques et théorie des Idées, tantôt distinctes l'une de l'autre et tantôt confondues; étudier d'abord les êtres mathématiques, et ensuite les Idées; citation des Traités Exotériques; opinions diverses sur les êtres mathématiques.

§ 1. [1076a] [8] Nous avons expliqué ce qu'est la substance des choses sensibles, d'abord dans notre discussion de la Physique sur la matière, et ensuite [10] quand nous avons traité de la substance en acte. Mais, comme maintenant nous voulons rechercher s'il existe, ou s'il n'existe pas, une substance immobile et éternelle, en dehors des substances sensibles, et comme aussi nous voulons, s'il existe une telle substance, connaître quelle est sa nature, nous ferons bien de voir d'abord les opinions que d'autres ont émises avant nous. [15] Grâce à cette méthode, si les autres se sont trompés à quelques égards, nous ne serons pas exposés à commettre les mêmes erreurs ; et si nous avons quelque doctrine qui nous soit commune avec eux, nous ne serons pas seuls à être atteints par la critique. Il est toujours, assez agréable de parler des choses mieux que les autres, ou, tout au moins, de pouvoir se dire qu'on n'en a pas parlé plus mal.

§ 2. Sur ce point donc, il y a deux doctrines. [20] D'abord, on reconnaît comme substances les êtres mathématiques, c'est-à-dire, les nombres, les lignes, ou les entités analogues à celles-là; et d'autre part, on admet que les Idées sont aussi des substances. Mais, comme les uns font deux genres distincts, des Idées et des Nombres mathématiques, et comme les autres ne reconnaissent qu'une seule nature pour les deux, tandis que même d'autres encore n'admettent comme substances que des substances mathématiques, ce sont les êtres mathématiques que nous devrons tout d'abord étudier. Nous éviterons de nous occuper d'aucune autre nature que de la leur: et, par exemple, nous nous abstiendrons de rechercher s'il y a, ou s'il n'y a pas, des Idées, et si elles sont les principes [25] et les essences des choses, ou bien, si elles ne le sont pas, de quelque manière que ce soit. Nous nous bornerons à étudier exclusivement les êtres mathématiques, pour savoir s'il y en a, ou s'il n'y en a pas ; et si nous trouvons qu'il y en ait, nous nous demanderons alors ce qu'ils sont précisément.

§ 3. Ce n'est qu'après cette recherche que nous nous occuperons séparément des Idées elles-mêmes, soit d'une manière absolue, soit dans la mesure où nous en avons besoin ici; car déjà nous en avons dit à peu près tout ce qu'on en peut dire dans nos Traités Exotériques. D'ailleurs, nous entrerons, pour la présente discussion, dans des développements [30] plus étendus, en recherchant si les Nombres et les Idées sont en effet les substances et les principes des êtres ; car, après la théorie des Idées, c'est là une troisième et dernière question qui se présente à nous.

§ 4. Si les êtres mathématiques existent réellement, ils sont nécessairement, ou dans les choses sensibles, comme on l'affirme quelquefois ; ou bien, ils sont séparés des choses que nos sens nous font connaître, comme d'autres philosophes le prétendent aussi. Enfin, dans le cas où il serait prouvé que les êtres mathématiques ne sont, ni dans les choses sensibles, ni hors de ces choses, alors, ou ils n'existent pas du tout, ou bien, ils existent d'une autre façon; et, par conséquent, notre investigation portera, non plus sur leur existence en général, mais sur le mode de cette existence particulière.
 

§ 1. Dans notre discussion de la Physique. Voir la Physique, liv. I, ch. VIII, § 5, p, 476 de ma traduction, et ch. X, § 8, p. 494. - De la substance en acte. Avec Alexandre d'Aphrodise et avec M. Bonitz, il faut admettre que ceci se rapporte encore à la Physique, liv. Vlll, ch. XV, § 26, p, 568. M, Schwegler croit que ce passage peut se rapporter aussi aux livres VII et VIII de la Métaphysique elle-même. - Une substance immobile et éternelle. C'est le sujet même du XIIe livre; et dès lors, il semble que le XIIIe et le XIVe qui réfutent la théorie des Idées et des Nombres, devraient venir avant le XIIe. Dans cette hypothèse, Aristote exposerait sa propre doctrine, après avoir exposé celle des autres; ce qui semble plus régulier. Voir la Dissertation sur la composition de la Métaphysique. - Les opinions que d'autres ont émises avant nous. C'est la méthode habituelle d'Aristote; elle est à. la foie très prudente et très modeste. Pour savoir jusqu'à quel point on a soi-même atteint la vérité, il importe beaucoup de connaître les recherches antérieures de la science. - Les seuls à être atteints par la critique. C'est le sens que je tire du commentaire d'Alexandre d'Aphrodise. Je reconnais d'ailleurs que la pensée et l'expression ne paraissent pas s'accorder complètement avec l'austérité habituelle d'Aristote. J'en dis autant de la phrase suivante.

§ 2. Il y a deux doctrines. Il faudrait sans doute ajouter : « que nous voulons examiner ». - Les êtres mathématiques. C'est la doctrine des Pythagoriciens. - Les Idées... C'est la doctrine de Platon. Il a été déjà bien souvent question de ces deux doctrines dans les livres précédents; et il semble que la réfutation a été complète. On ne comprend pas bien comment l'auteur sent le besoin d'y revenir, dans ces deux derniers livres. - Les uns... Les autres... Même d'autres. Il serait difficile d'indiquer précisément les philosophes auxquels peut s'adresser cette énumération. Alexandre d'Aphrodise se contente de désigner d'une manière vague les Pythagoriciens, ou quelques-uns d'entre eux, et les diverses nuances de l'école platonicienne. - D'aucune autre nature que la leur. C'est-à-dire que l'auteur veut étudier d'abord la théorie seule des Nombres, sans la mêler à la théorie des Idées, qui ne viendra que plus tard. On verra, cependant, qu'il les confond.

§ 3. Soit d'une manière absolue. Probablement, l'auteur veut dire qu'il traitera d'abord la théorie des Idées, comme il vient de traiter celle des Nombres, et qu'il la considérera à part et en elle-même, indépendamment des rapports qu'elle peut avoir avec la théorie des Nombres. - Dans nos Traites Exotériques. On sait que les Traités Exotériques sont ceux où Aristote exposait les questions philosophiques sous des formes plus faciles et plus vulgaires. Aristote a cité lui-même ces ouvrages plus d'une fois. Voir la Politique, liv. III, ch. IV, § 4, p. 143 de ma traduction, 3e édition; Morale à Nicomaque, liv. I, ch. II, §9, p. 59, et liv. VI, ch. III, § 1, p. 201. Voir aussi, dans le commentaire de M. Schwegler, sa note sur tous les travaux dont cette question spéciale a été l'objet; le plus étendu et le plus important est peut-être encore celui de M. Stahr, Aristotelia, t. II, pp. 237 à 279. - Une troisième et dernière question. Le texte n'est pas tout à fait aussi formel. D'ailleurs, les trois questions indiquées ici sont usitées dans les chapitres qui suivent, bien qu'elles ne le soient pas d'une façon très régulière.

§ 4. Comme on l'affirme quelquefois. Ici encore, il serait hasardeux de nommer les philosophes qu'Aristote semble avoir en vue; il aurait dû les désigner plus précisément. - D'autres philosophes le prétendent. Même remarque. - Dans le cas où il serait prouvé. Le texte est un peu moins précis. - Sur le mode de cette existence particulière. Cette question de la nature des êtres mathématiques est une des plus curieuses et des plus graves que la philosophie puisse se proposer. Je ne dis pas qu'Aristote l'ait résolue; mais il est à remarquer qu'après lui aucun des grands philosophes ne s'en est occupé aussi sérieusement. C'est un désidératum qui vaudrait bien la peine d'être satisfait; mais il serait bien difficile à combler.

CHAPITRE Il

Citation des Questions antérieurement énoncées; de la nature des êtres mathématiques; ils sont indivisibles; ils ne peuvent être isolés des choses sensibles; démonstration de cette proposition par l'étude des surfaces, des lignes et des points, et par l'étude des nombres; exemples des diverses sciences, astronomie, géométrie, optique, harmonie ; impossibilité de comprendre l'unité dans les êtres mathématiques; formation des êtres mathématiques; succession des dimensions qui les forment; antériorité et postériorité logiques et substantielles ; différence de la Logique et de la réalité les êtres mathématiques ne sont pas des substances ; ils ne sont pas séparés des choses sensibles ; et ils n'en font point partie ; ils n'existent que dans un sens indirect et tout relatif.

§ 1. En posant certaines Questions énoncées plus haut, nous avons établi que les êtres mathématiques ne peuvent pas se trouver dans les choses sensibles; et nous avons prouvé que c'est là une pure fiction, parce qu'il est impossible que deux solides occupent simultanément le même lieu. [1076b] Nous pourrions dire encore que, en vertu du même raisonnement, on en arriverait à affirmer que toutes les autres puissances, toutes les autres natures, n'existent que dans les êtres sensibles, et qu'aucune n'en est séparée. Voilà ce que nous avons démontré plus haut.

§ 2. Mais, outre ces démonstrations indiscutables, il n'est pas moins évident [5] qu'un corps quelconque ne pourrait plus alors être divisible. En effet, le corps se divisera par la surface; la surface se divisera par la ligne; et la ligne, parle point. Mais, s'il est impossible de diviser le point, il le sera également de diviser la ligne ; et, s'il est impossible de diviser la ligne, il y aura la même impossibilité pour tout le reste. Où est donc la différence à soutenir que le point, la ligne, la surface, sont des natures indivisibles de ce genre, [10] ou à soutenir que, ne l'étant point directement elles-mêmes, il y a cependant en elles des natures douées de ces qualités?

§ 3. Au fond, le résultat est le même, puisque, si les choses sensibles sont divisibles, les êtres mathématiques le sont aussi ; ou bien, les choses sensibles ne sont pas divisibles non plus.

§ 4. Mais une impossibilité tout aussi certaine, c'est que les natures de ce genre, les natures mathématiques, ne peuvent être isolées des choses. Supposons, par exemple, qu'en dehors des solides sensibles, il y ait d'autres solides qui en soient séparés et différents, et qui leur soient antérieurs, il est bien clair qu'il y aura, [15] nécessairement aussi, dans ces solides, des surfaces, des points, des lignes, qui seront également séparés des choses réelles; c'est la conséquence forcée de ce même raisonnement. Puis, s'il en est ainsi, il y aura encore des surfaces, des lignes, des points, séparés et différents du solide mathématique lui-même, puisque les choses indécomposables sont antérieures aux choses composées.

§ 5. Mais, si les corps non-perceptibles à nos sens sont antérieurs [20] aux corps sensibles, par la même raison, les surfaces qui existent en soi doivent être antérieures aussi aux surfaces qui se trouvent dans les solides immobiles. Par conséquent, ce seraient d'autres surfaces, et d'autres lignes, que celles qui se trouvent en même temps dans les solides séparés. Les unes seraient donc simultanées aux solides mathématiques ; les autres seraient antérieures à ces solides.

§ 6. Mais, ces solides mathématiques, à leur tour, [25] auront des lignes, lesquelles lignes par le même motif auront nécessairement d'autres lignes, d'autres points, qui leur seront antérieurs. Puis, dans ces lignes antérieures elles-mêmes, il y aura d'autres points antérieurs encore, qui ne devraient plus en avoir d'antérieurs à eux. Or, c'est là une accumulation insensée; car, s'il n'y a qu'un seul solide [30] en dehors du solide sensible, on compté trois surfaces en dehors des surfaces que nos sens perçoivent: d'abord, les surfaces en dehors des surfaces sensibles; puis, les surfaces dans les solides mathématiques; et, en troisième lieu, les surfaces en dehors même de ces dernières. Les lignes sont de quatre espèces, et les points sont de cinq. Auxquels de tous ces termes s'appliqueront les sciences mathématiques? Ce n'est pas certainement [35] aux surfaces, aux lignes et aux points, qui se trouvent dans le solide immobile, puisque la science ne peut jamais s'occuper que des termes premiers.

§ 7. Le même raisonnement s'applique tout aussi bien aux nombres; car, outre chacun des points, il y aurait encore des unités différentes. Il y en aurait pour chacun des êtres réels; il y en aurait pour les êtres intelligibles, de telle sorte que les genres des nombres mathématiques pourraient être infinis.

§ 8. Puis, comment répondre aux doutes que nous avons soulevés dans nos Questions? [1077a] Car les faits dont s'occupe l'Astronomie sont alors en dehors des choses sensibles, aussi bien que ceux dont s'occupe la Géométrie. Comment, alors, concevoir l'existence du ciel, de ses différentes parties, ou de tout autre objet qui a du mouvement? Même remarque pour la [5] science de l'Optique, et pour celle de l'Harmonie musicale. Alors, la voix et la vue sont également en dehors des choses sensibles et individuelles.

§ 9. Il est donc évident qu'il en serait de même pour toutes nos sensations, et pour toutes les choses sensibles; car pourquoi les unes plutôt que les autres? S'il en est ainsi, il y aura des animaux séparés des animaux sensibles, puisque les sensations que nous éprouvons le sont aussi.

§ 10. Mais, outre ces substances, les mathématiciens [10] reconnaissent et décrètent encore quelques universaux. Ainsi, il y aurait, suivant eux, quelque autre substance intermédiaire, qui, séparée des Idées et des termes moyens, ne serait, ni nombre, ni point, ni grandeur, ni temps. Mais, si cette substance est impossible, il est évident qu'il ne se peut pas non plus que les êtres mathématiques soient isolés des choses sensibles. En un mot, quand on pose [15] les êtres mathématiques comme des natures indépendantes, on arrive à contredire les opinions les plus habituellement reçues ; car nécessairement, quand on leur donne cette existence séparée, on les suppose antérieurs aux grandeurs sensibles, tandis que, en réalité, ils leur sont postérieurs.
La grandeur incomplète est antérieure, si l'on veut, en origine; mais, substantiellement, elle est postérieure, [20] de même que l'être inanimé ne vient qu'après l'être animé.

§ 11. Et puis, par quelle cause et à quel moment les grandeurs mathématiques en arriveront-elles à former une unité et un tout? Les corps que nous voyons autour de nous sont amenés à l'unité, soit par l'action de l'âme, ou d'une partie de l'âme, soit par tout autre agent propre à ce rôle, tandis que, en l'absence de cette action, Ies grandeurs ne peuvent que se décomposer en se multipliant. Mais pour les êtres mathématiques, divisés comme ils le sont et représentant des quantités, quelle cause pourra leur conférer l'unité et l'y maintenir?

§ 12. D'autre part, les générations des choses ne prouvent pas moins ce que nous disons. [25] Ainsi, Ies choses se forment, d'abord, en longueur, puis en largeur, enfin en profondeur; et alors, elles sont complètes. Si donc ce qui est ultérieur en génération est antérieur en substance, le corps solide serait antérieur à la. surface et à la longueur; et il serait même d'autant plus complet, et d'autant plus entier, qu'il deviendrait un corps animé. Mais comment [30] concevoir une ligne animée, une surface animée? Du moins, une supposition de ce genre dépasse nos sens, qui ne peuvent la vérifier.

§ 13. Ajoutez que, si le corps est une espèce de certaine substance, c'est qu'il a déjà toute la perfection qu'il comporte. Or comment des lignes seraient-elles des substances? Elles ne sont, ni la forme, ni la figure des choses, dans le sens où l'on peut croire que l'âme remplit cette fonction. Elles n'en sont pas non plus la matière, comme le corps solide doit l'être, puisqu'on ne voit pas qu'un être quelconque puisse se composer uniquement de lignes, de surfaces, [35] ni de points. Si, cependant, les êtres mathématiques étaient des substances matérielles, il semble qu'ils devraient alors pouvoir présenter ce phénomène.

§ 14. Ils seront donc, si l'on veut, antérieurs logiquement; [1077b] mais tout ce qui est antérieur logiquement n'est pas, pour cela, substantiellement antérieur. Les choses sont antérieures substantiellement toutes les fois que, en étant séparées, elles n'en continuent pas moins à exister; elles sont logiquement antérieures, toutes les fois que leur notion logique se compose d'autres notions purement logiques. Mais ces deux conditions d'antériorité logique et d'antériorité substantielle, ne se rencontrent jamais ensemble. Si [5] les modes ne sont pas indépendants des substances, par exemple, le mouvement et la blancheur, la blancheur peut bien logiquement être antérieure à l'homme; niais, substantiellement, elle ne peut pas lui être antérieure; car la blancheur ne peut pas exister séparément. Elle existe toujours en même temps que le composé; et, par le composé, je veux désigner ici l'homme qui est blanc.

§ 15. Par conséquent, on voit que, [10] ni le terme abstrait n'est antérieur, ni le terme concret n'est postérieur ; car c'est une expression concrète quand on dit, par addition de l'idée de blancheur, que l'homme est blanc. Donc, les êtres mathématiques ne sont pas des substances plus que les corps, et ils ne sont pas par leur existence antérieurs aux choses sensibles; ils ne le sont que logiquement, et il est impossible qu'ils en soient jamais séparés. Ce que nous avons dit suffit à le prouver. Mais [15] comme il n'est pas possible, non plus, que les êtres mathématiques soient dans les choses sensibles, il est manifeste, ou qu'ils n'existent pas du tout, ou qu'ils existent d'une manière spéciale, et qu'ainsi ils n'existent pas absolument; car on se rappelle que le mot d'Être présente toutes ces acceptions et ces nuances diverses.

§ 1. Certaines Questions énoncées plus haut. Le texte n'est pas aussi formel ; mais cette citation se rapporte sans nul doute aux questions posées liv. III, ch. II, §§ 29 et 30. - Deux solides occupent simultanément le même lieu. C'est en effet ce qui a été établi dans ce passage du livre III. - Toutes les autres puissances, toutes les autres natures. Alexandre d'Aphrodise croit qu'il faut entendre par là les surfaces, les lignes et les points, qui viennent à la suite du solide, et qui en sont les éléments. - N'existent que dans les êtres sensibles. Il ne semble pas que ce soit là une conséquence rigoureuse de ce qui précède; mais je ne trouve rien, dans le commentaire d'Alexandre d'Aphrodise, qui puisse éclaircir cette contradiction apparente, M, Bonitz croit que, par « les puissances et les natures », l'auteur ne veut indiquer que les idées. Dans ce cas, les Idées ne seraient que dans les choses sensibles et ne pourraient exister en dehors d'elles; mais c'est précisément tout le contraire que, d'après Aristote, soutiennent les partisans des Idées.

§ 2. Indiscutables. J'ai ajouté ce mot. - Ne pourrait plus alors être divisible. Si l'on admet que les êtres mathématiques sont dans les choses sensibles, et qu'ils y sont indivisibles. - S'il est impossible de diviser le point. D'après la théorie des Nombres dans le système pythagoricien. On peut trouver qu'ici comme dans bien d'autres occasions, Aristote n'expose pas assez clairement les opinions qu'il prétend réfuter; il est possible que, de son temps, les choses fussent entendues à demi-mot; mais la postérité ne se met pas aussi facilement au courant des controverses qu'agitait le monde grec, voilà plus de deux mille ans. - Il y a cependant en elles des natures douées de ces qualités. Ces natures sont les êtres mathématiques, qui, d'après les hypothèses pythagoriciennes, sont indivisibles.

§ 3. Les êtres mathématiques le sont aussi. Ce qui est absolument contraire à la doctrine des Nombres.

§ 4. Les natures mathématiques. J'ai ajouté ces mots, qui ne sont que la paraphrase des précédents, afin de rendre la pensée plus claire. Le sens est d'ailleurs précisé par ce qui suit. - Dans ces solides. J'ai ajouté ces mots, qui me paraissent indispensables et qui ressortent du contexte. - Puis, s'il en est ainsi. Il semble qu'il y a ici quelque redondance; et cette phrase n'est guère qu'une répétition.

§ 5. Les corps non-perceptibles à nos sens. Ce sont les corps, ou solides mathématiques, qui sont conçus par notre intelligence, mais qui n'ont rien de matériel que nos sens puissent saisir. - Qui existent en soi. En dehors des solides mathématiques. - Dans les solides immobiles. Ou « mathématiques ».

§ 6. Mais ces solides mathématiques, à leur tour. M. Bonitz conteste la rigueur de celte conclusion; et il ne croit pas que les théories pythagoriciennes prêtent à cette sévère critique. Les corps mathématiques, tels que les Pythagoriciens les comprennent, n'ont plus des surfaces, des lignes, des points comme les solides naturels. - Une accumulation insensée. Cet argument est à peu près celui qu'Aristote a opposé déjà à là théorie des Idées, qui multiplie les êtres sans nécessité; voir plus haut, liv. I, ch. VI, § 13. - On compte trois surfaces. Ce ne sont pas les trois surfaces, longueur, largeur, profondeur des solides mathématiques; mais ce sont plutôt trois espèces de surfaces différentes. - Les lignes sont de quatre espèces. Alexandre d'Aphrodise a essayé d'expliquer cette accumulation des lignes, qui sont de quatre espèces, et celle des points qui sont de cinq espèces; mais ces explications ne sont rien moins que claires, bien quelles semblent être adoptées sans difficulté par MM. Schwegler et Bonitz, La pensée générale de l'auteur est d'ailleurs évidente; et ce qu'il veut prouver, c'est qu'en donnant aux êtres mathématiques une existence en dehors des choses sensibles, on multiplie inutilement les choses, loin de les simplifier. - Dans le solide immobile. C'est-à-dire, dans le solide mathématique, parce qu'antérieurement à ce solide lui-même, il y a d'autres surfaces abstraites, d'autres lignes, d'autres points, auxquels la science doit s'adresser, puisqu'elle doit toujours remonter aux termes primitifs. Mais ici l'objet propre de la science lui échapperait sans cesse; et toute cette théorie ne peut qu'être fausse.

§ 7. Tout aussi bien aux nombres. Les nombres sont bien aussi des êtres mathématiques ; mais ils diffèrent des êtres plus spécialement géométriques dont il vient d'être question. S'il y a des nombres mathématiques en dehors des choses réelles, il y aura autant de nombres différents que de choses et alors, ces nombres seront infinie comme les choses elles-mêmes. - Chacun des points. Il semble qu'Aristote confond ici les points et les unités, bien qu'il ait souvent établi, entre les unités et les points, cette différence que le point est une unité qui a une position, tandis que l'unité numérique n'a pas de position. - Pour chacun des êtres réels. C'est là le fond de l'objection qu'Aristote dirige contre la théorie des Nombres.

§ 8. Soulevés dans nos Questions. Voir plus haut, liv. III, ch. II, § 30. - Sont alors en dehors des choses sensibles. C'est la traduction exacte du texte grec; mais peut-être vaudrait-il mieux dire :  « Ne sont plus alors dans les choses sensibles », pas plus que n'y sont, d'après les théories que combat Aristote, les surfaces, les lignes, les points et les nombres. - L'existence du ciel. Voir plus haut, liv. III, ch. II, § 30, la même exemple et la même objection.

§ 9. Pour toutes nos sensations. Cette critique s'adresse plus particulièrement à cette théorie des Idées, qui attache une Idée a chaque objet, et qui place les Idées en dehors des objets réels. - Il y aura des animaux. Ou « des êtres ». - Séparés des animaux sensibles. Le texte n'est pas aussi formel.

§ 10. Reconnaissent et décrètent. Il n'y a qu'un seul mot dans le texte; et ce mot a une nuance assez singulière: il est celui qu'on employait, dans la langue juridique du temps, pour exprimer la proposition et la promulgation des lois. C'est là ce qui peut justifier ma traduction. - Mais si cette substance est impossible. Les mathématiciens pourraient répondre par une, affirmation contraire; l'auteur aurait dû donner quelques arguments à l'appui de la sienne. Il est vrai qu'un peu plus bas il en appelle à l'opinion commune, qui refuse aux êtres mathématiques une existence séparée et antérieure. - L'être inanimé. C'est une négation, qui suppose une affirmation antérieure Il faut que l'être ait été d'abord animé pour devenir ensuite inanimé; et s'il s'agit d'êtres différents, il est évident que l'être animé est supérieur et antérieur à l'être inanimé.

§ 11. Les grandeurs mathématiques.... La pensée, sous forme plus claire, est celle-ci: « Comment les surfaces les lignes, les points mathématiques, pourront-ils se réunir pour former un Tout et un corps solide? Quelle cause les ramènera-t-elle à l'unité? Dans les corps animés, c'est l'âme. ou une partie de l'âme, qui leur donne ce complément et cette Entéléchie essentielle. Mais, dans les êtres mathématiques, il n'y a pas d'âme, ni rien qui ressemble à l'âme. Dans les corps inanimés, c'est un autre agent qui leur donne l'unité qui les constitue; et cet agent exerce une action analogue à celle de l'âme. » - En l'absence de cette action. La texte n'est pas aussi formel. - Divisés comme ils le sont. En surfaces, lignes, points, et nombres.

§ 12. Les générations des choses.... On peut trouver que les choses ne se produisent et ne deviennent pas ce qu'elles sont, dans l'ordre où Aristote le dit ici. Ce n'est pas la longueur seule, ni la largeur, ni la profondeur, qui se produisent successivement. Le corps, du moment même qu'il se produit, a simultanément les trois dimensions, sans lesquelles il ne serait pas un corps. - Le corps solide serait antérieur. C'est vrai; mais cette assertion semble contredire celle qui précède. - Qu'il deviendrait un corps animé. Il n'y a rien, en effet, dans la nature de plus élevé que le corps doué de vie et de toutes les facultés dont la vie se compose. - Qui ne peuvent la vérifier. J'ai ajouté ces mots.

§ 13. Elles ne sont, ni la forme, ni la figure. Il semble au contraire que les surfaces, les lignes, les peints, déterminent la figure matérielle des choses; mais elles n'en sont ni l'essence ni l'Entéléchie, comme l'âme peut l'être pour le corps animé.

§ 14. Si l'on veut. J'ai ajouté ces mots, qui me semblant répondre à toute la pensée du contexte, Aristote accorde aux êtres mathématiques une antériorité purement logique; mais il ne leur accorde pas l'antériorité substantielle. - Se compose d'autres notions. J'ai suivi la leçon vulgaire, quoi qu'elle soit peu satisfaisante. Alexandre d'Aphrodise n'explique point ce passage. M. Bonitz trouve que la rédaction de cette phrase est bien négligée ; M. Schwegler propose diverses variantes, d'où il résulterait une légère différence de sens : « Toutes les fois que leurs définitions sont antérieures à d'autres définitions. »

§ 15. Ni le terme abstrait. Cette expression peut, selon Alexandre d'Aphrodise être interprétée de deux manières : elle peut désigner ou le corps mathématique sans aucune de ses qualités; ou bien, la qualité de la blancheur dont il est question un peu plus bas. De même encore, selon Alexandre, « le terme concret », signifierait, ou le corps mathématique avec toutes ses qualités, ou bien « l'homme blanc », l'homme sujet de la blancheur, dont la notion se confond avec elle. Je crois que cette dernière interprétation est beaucoup plus acceptable. Ici les « terme abstrait » est la blancheur; le « terme concret » est l'homme blanc. - Donc les êtres mathématiques. C'est la conclusion de tout ce chapitre. - Soient dans les choses sensibles. Il semble au contraire que les êtres mathématiques devraient être dons les choses sensibles; mais c'est. sans doute, la théorie des Pythagoriciens qu'Aristote veut indiquer, et non la sienne. Dans la doctrine Pythagoricienne, les êtres mathématiques sont en dehors des choses sensibles et ils ont une existence à part. - D'une manière spéciale. Le chapitre suivant sera consacré à déterminer la nature propre des êtres mathématiques, qu'il est si difficile de bien comprendre. - Le mot d'Être. Voir liv. V, ch. VII.

CHAPITRE III

De la nature propre des Mathématiques; point de vue exclusif d'où elles considèrent les choses; procédés des autres sciences; procédés de la Géométrie; exactitude et simplicité des Mathématiques, à cause de la simplicité même des objets abstraits qu'elles étudient; méthode générale des Mathématiques ; méthodes spéciales de l'Harmonie, de l'Optique et de la Mécanique; hypothèses permises à l'arithméticien et au géomètre; critiques injustes élevées contre les Mathématiques; elles s'occupent aussi à leur manière du bien et du beau; indication de nouvelles recherches sur la nature des Mathématiques ; certitude des êtres dont les Mathématiques s'occupent.

§ 1. De même que, dans les Mathématiques, les axiomes universels ne s'appliquent pas à des choses qui soient séparées, et en dehors des grandeurs et des nombres réels, mais qu'ils s'appliquent aux nombres et aux grandeurs, sans que [20] ce soit en tant qu'ils peuvent être des grandeurs sensibles, ou qu'ils peuvent être divisibles; de même, il est évident qu'on peut établir aussi des discussions, et des démonstrations, relatives aux grandeurs sensibles, non pas en tant que sensibles, mais en tant que grandeurs.

§ 2. En effet, de même qu'on peut discuter de bien des manières sur les corps susceptibles de mouvement, en les considérant uniquement sous ce rapport, sans s'occuper de la nature spéciale de chacun d'eux et de leurs modifications diverses, [25] et qu'il n'est pas, pour cela, nécessaire de supposer que le mobile soit séparé des objets sensibles, ou qu'il constitue dans ces objets une nature particulière et déterminée; de même, on peut faire aussi l'étude et la science des corps susceptibles de mouvement, non pas en tant qu'ils sont mus, mais uniquement en tant que ce sont des corps, ou en tant qu'ils sont de simples surfaces, ou de simples longueurs, ou bien en tant qu'ils sont divisibles [30] ou indivisibles, et avec une certaine position, ou enfin en tant qu'ils sont exclusivement indivisibles.

§ 3. Par conséquent, puisqu'on peut dire avec vérité non seulement des choses séparées qu'elles existent absolument, mais qu'on le dit aussi des choses qui ne sont pas séparées, comme, par exemple, celles qui sont susceptibles de mouvement, on peut affirmer, [35] avec autant de vérité, l'existence des êtres mathématiques, et admettre que cette existence est bien ce qu'en disent les mathématiciens; et, de même que les autres sciences expriment la vérité sur le sujet particulier qui les occupe, et non sur les accidents de ce sujet, ne parlant pas de la blancheur d'un objet, par exemple, quand l'objet sain est blanc, si elles ne l'étudient qu'en tant qu'il est sain, mais ne parlant chacune, dans leur espèce, que de leur objet propre, [1078a] de la santé si c'est la santé, de l'homme, si c'est l'homme; de même, la géométrie ne s'occupe pas des choses qu'elle étudie, si ce sont des choses accidentellement sensibles, en tant qu'elles sont sensibles; et les sciences mathématiques en général n'auront pas davantage à s'occuper des objets en tant qu'ils tombent sous nos sens.

§ 4. Mais on ne peut pas dire non plus qu'elles s'occupent d'un objet qui serait séparé [5] de tout le reste. Il y a une foule d'accidents essentiels qui sont dans les choses, en tant que chacun d'eux remplit cette condition. C'est ainsi, par exemple, que, quoique l'animal soit mâle ou femelle, et que ce soient là des modifications qui lui sont propres, cependant il n'existe pas quelque chose qui soit femelle, ou mâle, indépendamment des animaux, et qui en serait séparé.

§ 5. Par conséquent, les Mathématiques peuvent considérer uniquement les choses en tant que longueurs, [10] en tant que surfaces; et plus les objets étudiés sont essentiellement primitifs et simples, plus la science est exacte et précise.

C'est là effectivement ce qu'est le simple; ce qui est sans grandeur peut être plus précis que ce qui a de la grandeur, et ce qui est sans mouvement est plus précis encore que tout le reste. S'il s'agit de mouvement, c'est le mouvement premier qui est le plus précis, parce qu'il est le plus simple; et dans le mouvement premier, c'est le mouvement uniforme qui est le plus précis de tous les mouvements possibles.

§ 6. Même observation pour l'Harmonie et pour l'Optique; [15] ni l'une ni l'autre n'étudient la vue en tant que vue, la voix en tant que voix, mais seulement en tant que la voix et la vue peuvent être réduites à des lignes et à des nombres, bien que ces nombres et ces lignes soient des modifications propres de la voix et de la vue. Même remarque encore pour la Mécanique.

§ 7. Lors donc que l'on sépare certains accidents, et qu'on les considère en tant que séparés de cette façon, l'on n'est pas plus dans le faux, que, quand traçant une ligne sur le sol, on dit [20] qu'elle a un pied de long, quoique, de fait, elle n'ait pas cette dimension. L'erreur n'est jamais dans les propositions de ce genre; et la manière la plus parfaite de considérer les choses avec exactitude, c'est d'isoler ce qui n'est pas isolé, ainsi que le pratiquent l'arithméticien et le géomètre. Par exemple, l'homme, en tant qu'homme, est un et indivisible. Si donc on admet, d'abord, que l'homme est un et indivisible, on peut voir ensuite si, en tant qu'indivisible, [25] l'homme ne présente pas quelque condition particulière. Mais le géomètre ne considère pas l'homme en tant qu'il est homme, pas plus qu'il ne le considère en tant qu'indivisible ; il considère uniquement l'homme en tant qu'il est un solide.

§ 8. Car, pour les attributs que l'homme pourrait avoir sans être même indivisible, évidemment l'homme n'en a aucun besoin pour devenir tout ce qu'il peut être. Ainsi, les géomètres ont pleine raison quand ils soutiennent qu'ils étudient des êtres, et que ces êtres existent [30] positivement; car l'Être a deux aspects: il est actuel, et il est matériel.

§ 9. Quant au bien et au beau, qui diffèrent l'un de l'autre, en ce que le bien suppose toujours l'action, tandis que le beau peut se trouver même dans les immobiles, c'est se tromper que de reprocher aux sciences mathématiques de négliger absolument le beau et le bien. Loin de là, elles s'en occupent beaucoup ; et ce sont elles qui les démontrent le mieux. [35] Si elles ne les nomment pas expressément, elles en constatent les effets et les rapports; et l'on ne peut pas dire qu'elles n'en parlent point. Les formes les plus frappantes du beau sont l'ordre, la symétrie, la précision; [1078b] et ce sont les sciences mathématiques qui s'en occupent éminemment.

§ 10.  Et comme ces qualités, je veux dire l'ordre et la précision, sont causes d'une foule d'autres choses, il est évident que les sciences mathématiques doivent traiter aussi d'une cause qui, [5] comme le beau, peut avoir tant de conséquences. Mais nous aurons ailleurs l'occasion d'approfondir ces questions. En attendant, nous avons prouvé ici que les objets traités par les Mathématiques sont des êtres; nous avons expliqué quelle sorte d'êtres ils sont, et montré dans quel sens on peut dire qu'ils ne sont pas antérieurs, ou qu'ils sont antérieurs.

§ 1. Les axiomes universels. L'expression du texte est moins précise; mais d'après le contexte et le commentaire d'Alexandre d'Aphrodise, le sens ne peut faire de doute. Les axiomes universels sont du genre de celui-ci « Si de deux quantités égales, on retranche des quantités égales, les deux premières quantités n'en restent pas moins égales. » Ces axiomes sont purement rationnels; c'est la raison qui les conçoit; et ils n'ont pas une existence séparée des objets réels auxquels ils s'appliquent. - Aux nombres et aux grandeurs.  Dans l'Arithmétique et dans la Géométrie. - En tant que grandeurs. C'est-à-dire, surfaces, lignes, nombres, etc.

§ 2. Uniquement sous ce rapport. C'est de là que vient la théorie générale du mouvement qu'Aristote a essayée dans sa Physique, et que tant d'autres ont essayée après lui. - Avec une certaine position. Ceci s'applique surtout au point, qui est une sorte d'unité ayant position, tandis que l'unité numérique, la monade, n'a pas de position possible; comme Aristote l'a dit à plusieurs reprises. - Exclusivement indivisibles. C'est la monade, ou unité numérique.

§ 3. L'existence des êtres mathématiques. Il aurait fallu préciser davantage la nature de cette existence, et dire quelle est purement rationnelle. - Et de même que les autres sciences.... Cette phrase est bien longue; mais j'ai cru devoir la conserver telle qu'elle est dans le texte. - En tant qu'ils tombent sous nos sens. Les Mathématiques, en effet, sont surtout rationnelles, sans l'être exclusivement. C'est une nature de science toute spéciale.

§ 4. Qui serait séparé de tout le reste. L'objet des Mathématiques n'a pas une existence propre et indépendante puisque les surfaces, les lignes, les points, les nombres, se trouvent dans les objets réels qui sont perçus par nos sens, et que les Mathématiques ne font que les abstraire pour les considérer isolément. - En tant que chacun d'eux remplit cette condition. C'est-à-dire que ces accidents sont dans les choses, sans en dire séparés et indépendants. L'exemple que cite Aristote est frappant, et il suffit à éclaircir la pensée, bien que l'expression en soit trop peu précise.

§ 5. Uniquement les choses en tant que longueurs. Voilà le caractère propre des Mathématiques; et c'est là l'abstraction qui les constitue. Elles ne considèrent dans les choses que certains caractères particuliers; et elles isolent rationnellement ces caractères, pour les étudier à part de tout le reste, sans que d'ailleurs ils puissent être isolés réellement, et avoir une réalité propre. Voir plus loin, liv. XIV, ch. II, §§ 6 et 7; voir aussi la Physique, liv. II, ch. II, §§ 4 et 5; et les Derniers Analytiques, liv. l, ch. X, § 10, p. 62 de ma traduction . - S'il s'agit de mouvement. Cette phrase, qui interrompt quelque peu la suite des pensées, pourrait bien n'être qu'une interpolation; elle est, d'ailleurs, conforme à toute la doctrine d'Aristote sur le mouvement.

§ 6. Harmonie.... Optique.... Mécanique. On sait que toutes ces sciences avaient été cultivées dans l'École d'Aristote, si ce n'est par Aristote lui-même. Le petit traité de Mécanique, qui nous reste sous son nom, est probablement de lui; mais, en tout cas, il atteste que ces délicates études avaient été poussées assez loin par ses disciples.

§ 7. Qu'elle a un pied de long. Aristote a employé cet exemple plusieurs fois, comme on peut le voir par les passages de la Physique et des Derniers Analytiques, citée dans la note précédente. - D'isoler ce qui n'est pas isolé. C'est d'abstraire par la pensée une qualité qui n'est jamais isolée dans la réalité. Les lignes, les nombres, etc., ne sont jamais séparés des objets; et cependant l'Arithmétique et la Géométrie étudient les nombres et les lignes, dans un isolement absolu de tout le reste. - Un et indivisible. En d'autres termes, c'est un individu ; et, dans l'espèce humaine, c'est une personne distincte et indépendante de toute autre.

§ 8. Tout ce qu'il peut être. L'expression en bien vague. Alexandre d'Aphrodise l'explique en supposant qu'il s'agit ici de la qualité de « Solide » que le géomètre considère toute seule dans l'individu, indépendamment de tous ses autres attributs. - Et il est matériel. Il semble qu'Alexandre d'Aphrodise a eu une leçon toute contraire sous les yeux, et qu'il ait lu « immatériel » au lieu de « matériel ». En conservant la leçon ordinaire, pour laquelle aucun manuscrit ne donne de variante, on pourrait bien l'expliquer dans le même sont, en se rappelant que la matière, dans la doctrine d'Aristote, n'est qu'une simple puissance, Les deux aspects de l'être sont alors, ou d'être actuel, ou d'être en puissance; et la puissance est toujours immatérielle.

§ 9. Quant au bien et au beau. Cette défense des Mathématiques est plus ingénieuse peut-être que solide. Ce qui est vrai, c'est qu'à certains égards les Mathématiques nous font mieux comprendre le bien et le beau, sans, d'ailleurs, s'en occuper directement. - C'est se tromper. Ce reproche adressé aux Mathématiques venait d'Aristippe; voir plus haut, liv. III, ch. II, § 4. Aristote l'a déjà réfuté. - Qui les démontrent le mieux. C'est là une exagération.

§ 10. Sont causes d'une foule d'autres choses. Le texte n'est pas plus précis. - Peut avoir tant de conséquences. Même remarque. - Nous auront ailleurs l'occasion. Il ne paraît pas qu'Aristote soit revenu sur ce sujet, dans aucun de ouvragea qui nous restent de lui. - Ou qu'ils sont antérieurs. Le texte n'est pas plus précis; il faut probablement sous-entendre: «Antérieurs aux objets d'où on les tire par abstraction. »

CHAPITRE IV

Critique de la théorie des Idées ; cette théorie est venue de celle d'Héraclite sur le flux perpétuel de toutes choses; le rôle de Socrate a été surtout moral ; Démocrite et les Pythagoriciens; deux grands mérites de Socrate; il emploie l'induction et la définition; il n'a jamais admis que les universaux fussent séparés des choses; erreurs des fondateurs de la théorie des Idées; ils multiplient les êtres inutilement; insuffisance de leurs démonstrations; contradictions où ils tombent ; objections diverses; de la participation des Idées.

§ 1. Pour ce qui concerne les Idées, nous aurons, d'abord, à considérer cette théorie relativement [10] à son idée même, sans la confondre en rien avec la nature particulière des nombres, et telle que la prenaient ceux qui ont été les premiers à en soutenir l'existence. La doctrine des Idées a été inspirée à ceux qui les défendent, par la persuasion où ils étaient de la vérité des opinions d'Héraclite, sur le flux perpétuel de toutes choses. [15] Ils en concluaient que, si la science de quoi que ce soit et la compréhension des choses sont possibles, il faut de toute nécessité que, à côté des natures que nos sens nous attestent, il y en ait d'autres qui soient permanentes et stables, puisqu'il ne peut pas y avoir de science de ce qui s'écoule et fuit sans cesse.

§ 2. Socrate s'était occupé surtout de l'analyse des vertus morales; et il avait été le premier à en chercher des définitions générales. Avant lui, [20] Démocrite n'avait guère touché, et encore d'assez loin, qu'à des questions de Physique; et ses définitions ne s'étendaient tout au plus qu'au chaud et au froid. Les Pythagoriciens, antérieurement à Démocrite, s'étaient appliqués à définir un petit nombre de notions, qu'ils essayaient de rattacher à leur théorie des Nombres: par exemple, ils avaient, de cette façon, défini l'Occasion, la Justice, le Mariage. Mais Socrate recherchait [25] ce que les choses sont en elles-mêmes essentiellement; et il faisait bien en cela, puisqu'il voulait se rendre un compte rationnel des réalités, et que tout raisonnement doit s'appuyer sur la nature de la chose en soi. De son temps, la Dialectique n'était pas encore assez avancée pour qu'on pût étudier les contraires, indépendamment même de l'essence, et se demander si les contraires sont connus d'un seul et même coup.

§ 3. Du reste, il y a deux mérites qu'on doit hautement reconnaître à Socrate, si l'on veut être juste envers lui : il a su faire des raisonnements inductifs, et donner des définitions générales. Ce sont là les deux fondements véritables de la science. [30] Mais Socrate n'admettait pas que les universaux, non plus que les définitions, pussent être séparés des choses, tandis qu'au contraire d'autres philosophes les en ont séparés, et que ce sont les entités de cette espèce qu'ils ont nommées des Idées.

§ 4. En suivant le fil de ce même raisonnement, ces philosophes furent amenés à reconnaître presque autant d'Idées qu'il y a de termes universels; et en cela, ils faisaient à peu près la même faute que si, voulant [35] compter un certain nombre de choses, et n'y pouvant parvenir, même sur un nombre moindre, on s'imaginait de multiplier la quantité de ces choses, afin de les compter plus aisément. C'est que, en effet, on peut dire qu'on suppose plus d'Idées qu'il n'y a d'êtres sensibles ; [1079a] et pourtant, c'était en cherchant à comprendre les causes de ces êtres que nos philosophes en étaient arrivés à cette doctrine extrême. D'abord, pour chaque objet, on reconnaît une Idée de même nom, et indépendante des substances réelles; puis, il y a l'idée qui reste Une, quelque grande que soit la foule de ces objets, tout aussi bien pour Ies choses ordinaires d'ici-bas que pour les choses éternelles.

§ 5. Ajoutez qu'aucune des méthodes [5] employées pour démontrer l'existence des Idées n'est vraiment démonstrative. Tantôt, le syllogisme qu'on emploie n'a aucun caractère de nécessité; tantôt, on voit surgir des Idées de choses auxquelles nos philosophes eux-mêmes ne songent pas à en accorder. Ainsi, d'après les raisonnements qu'on emprunte aux sciences, on croit qu'il doit y avoir des Idées pour toutes les choses dont la science est possible. En vertu de l'argument de l'unité de l'Idée dans la pluralité des objets, on aurait des Idées même [10] pour des négations; et, comme on peut avoir l'Idée d'une chose qui a péri, il y aurait des Idées pour les choses périssables, puisqu'on peut se faire aussi de ces choses–là une certaine représentation.

§ 6. Les discussions les plus approfondies de ce système font, tantôt, des Idées pour les Relatifs, qui cependant, d'après ces philosophes, n'ont pas d'existence en soi; et, tantôt, elles en arrivent à affirmer le Troisième homme. En un mot, ces théories sur les Idées détruisent précisément le principe, auquel leurs partisans [15] tiennent plus encore qu'à l'existence des Idées elles-mêmes; c'est-à-dire qu'ils en viennent à prendre pour principe non plus la Dyade, mais le nombre; et à considérer le relatif comme antérieur au nombre même, et aussi comme antérieur à ce qui existe en soi ; tombant, par cette confusion, dans toutes les contradictions de leurs propres principes, où se sont embarrassés quelques-uns des philosophes qui ont suivi le système des Idées.

§ 7. Que si l'on adopte l'hypothèse [20] qui leur a fait croire aux Idées et à leur existence, il y aura des Idées non seulement pour les substances, mais aussi pour une foule d'autres choses; car la pensée peut unifier non pas seulement des substances, mais aussi des choses qui ne sont pas des substances réelles; et la science alors ne reposera plus sur la substance exclusivement. On pourrait encore signaler des milliers de conséquences analogues à celles-là. Ainsi, de toute nécessité et en s'en tenant à leurs opinions [25] sur les Idées, on peut affirmer que, si les Idées sont susceptibles de participation, il ne doit y avoir d'Idées que pour les substances. Or, ce n'est pas l'accident qui peut y participer; mais ce sont les seuls objets qui ne peuvent être les attributs d'un sujet, qui participent aux Idées.

§ 8. Je dis, par exemple, que, si un objet quelconque participe à l'Idée du Double, il participe aussi à l'idée de l'éternel; mais ce n'est que par accident, parce que le double n'est éternel qu'accidentellement. [30] Donc, les Idées sont la substance; et elles désignent la substance dans notre monde, tout comme dans le monde des Idées. Ou autrement, que voudrait-on dire quand on soutient que, outre les choses réelles, il existe de plus l'unité dans la pluralité?

§ 9. Si les Idées sont de même espèce que les choses qui y participent, il y aura quelque chose de commun aussi entre les choses qui participent et les Idées. Car, pourquoi la Dyade [35] serait-elle une et identique pour les Dyades périssables que nous voyons, et pour les Dyades multiples, mais éternelles, plutôt que pour la Dyade même et une Dyade réelle et particulière? Si l'espèce n'est pas la même, [1079b] alors les Idées et les choses ne sont qu'homonymes; et c'est tout aussi peu sérieux que si l'on allait donner le nom d'homme, tout ensemble, à Callias et à un morceau de bois, sans d'ailleurs pouvoir rien découvrir de commun entre les deux.

§ 10. Si nous admettons que, sous tous les rapports, les définitions des choses sensibles sont communes aux Idées auxquelles elles s'appliquent également bien, et que, [5] par exemple, dans le cercle idéal, on retrouve la forme, la surface et toutes Ies autres parties de la définition du cercle sensible, et qu'on doit ajouter seulement à l'Idée le nom de l'objet auquel elle se rapporte, prenons bien garde que tout cela ne soit absolument vain. En effet, à quelle partie de la définition devra-t-on ajouter ce nom? Est-ce au point central du cercle? Est-ce à la surface, ou à l'ensemble des éléments de la définition? Car tous les éléments qui entrent dans la substance sont déjà des Idées, comme le sont les attributs d'Animal et de Bipède, dans la définition de l'homme.

§ 11. Enfin, il est clair que, nécessairement, [10] l'Idée doit être elle-même, comme la surface, une nature particulière, qui se retrouvera, à titre de genre, dans toutes les espèces.

§ 1. Les Idées.... à son idée même. Ce rapprochement, qui est une sorte de jeu de mots, est dans le texte; et j'ai dû le conserver. - De la vérité des opinions d'Héraclite. Plus haut, dans le livre Ier, ch. VI, § 1, la même origine est assignée à la théorie des Idées; mais Aristote ajoute que c'est par l'intermédiaire de Cratyle que Platon se laissa convertir aux doctrines d'Héraclite, qui devaient le conduire à la théorie des Idées.

§ 2. Socrate.... des vertus morales. Voir plus haut, liv.I, ch. VI, § 2, où Aristote attribue le même genre de mérite à Socrate, en remarquant en outre qu'il laissa presque entièrement de côté l'élude de la nature.  - Avant lui Démocrite.... Voir une remarque semblable sur les travaux de Démocrite et ceux de Socrate dans le traité des Parties des animaux, liv. I, ch. I, p. 223, lignes 2 et 4, édition de Firmin-Didot.

§ 3. Deux mérites... à Socrate. Il faut remarquer cette haute impartialité d'Aristote à l'égard de Socrate. Cet éloge a été depuis lors répété bien des fois; et les dialogues de Platon suffiraient à eux seuls pour attester combien cet éloge est justifié. - D'autres philosophes. Ce sont les disciples de Platon, après Platon lui-même.

§ 4. On s'imaginait... Tout ce § et les suivants jusqu'au § 9 inclusivement reproduisent, mot pour mot, la critique de la théorie des Idées déjà faite dans le liv. I, ch. VII, §§ 29 à 36. C'est à peine s'il y a quelques légers changements, qui ne viennent sans doute que de l'inattention du copiste. Avec le § 10, cesse cette reproduction littérale du chapitre VII, du livre I; mais elle recommence avec le chapitre V, comme on le verra un peu plus loin.

§§ 5, 6, 7, 8 et 9. Ces cinq paragraphes reproduisent mot à mot, sauf quelques variantes très légères, les §§ 31, 32, 33, 34, 35 et 36 du chapitre VII, liv. I. Je m'abstiens de les commenter; et je prie le lecteur de vouloir bien se reporter aux explications que j'ai données plus haut. Je ne pourrais que les répéter ici, sans aucune utilité.

§10. Ce § ne se trouve pas dans le livre I, ch. VII; et M. Bonitz, après M, Trendelenburg, pense qu'il y a été omis par la faute des copistes, ainsi que le § 11. - Des choses sensibles. J'ai ajoute ces mots, qui m'ont paru indispensables, et qu'autorise aussi le commentaire d'Alexandre d'Aphrodise. Dans tout ce §, le texte est plus concis encore que d'habitude; et la rédaction en est excessivement obscure. J'ai suivi, autant que je l'ai pu, le sens adopté par le commentateur grec. - Du cercle sensible. J'ai ajouté ces mots. - A quelle partie de la définition. Le texte n'est pas aussi formel. - Au point central du cercle. C'est le sens que donne Alexandre d'Aphrodise. - Qui entrent dans la substance. Et qui composent l'ensemble de la définition. - Dans la définition de l'homme. Je tire ces mots, que j'ajoute, du commentaire d'Alexandre d'Aphrodise.

§ 11. Comme la surface. Le mot de surface est un terme universel, qui s'applique, comme genre, à toutes les surfaces particulières, quel que soit l'objet dont il est question. Malgré ce qu'en dit M. Bonitz, on peut trouver que ces deux §§ 10 et 11 ne se lient pas très heureusement à ce qui précède, ni à ce qui suit. Voir la Dissertation sur la composition de la Métaphysique.
 

CHAPITRE V

Suite de la critique de la théorie des Idées; les Idées ne peuvent servir en rien faire comprendre les choses sensibles, éternelles ou périssables ; elles n'en sont pas la substance; réfutation d'Anaxagore et d'Eudoxe; les Idées ne peuvent pas être les exemplaires des choses, et ce sont là de vains mots et de simples métaphores; les choses auraient ainsi plusieurs modèles; la substance d'une chose ne peut être séparée de celle chose, comme on le tait pour les Idées; citation du Phédon: condamnation générale de la théorie des Idées.

§ 1. Le doute le plus grave qu'on puisse soulever ici, c'est de savoir en quoi les Idées peuvent servir aux choses sensibles, soit à celles qui sont éternelles; soit à celles qui se produisent et qui périssent. C'est qu'en effet les Idées ne peuvent être, pour les choses sensibles, ni des causes de mouvement, [15] ni des causes d'un changement quelconque.

§ 2. Mais les Idées ne peuvent pas aider davantage à la connaissance des autres choses. Elles ne sont pas la substance des choses sensibles; car, alors, elles devraient être en elles. Elles ne contribuent pas non plus à leur être, puisqu'elles ne sont pas dans Ies choses qui en participent. Tout au plus, pourrait-on croire qu'elles sont les causes des choses, comme le blanc qui vient se mêler à une chose déjà blanche. [20] Mais il est trop facile de répondre à cet argument qu'Anaxagore a exposé le premier, qu'Eudoxe a répété plus tard avec le même embarras, et que d'autres ont adopté après lui ; car, on pourrait sans peine accumuler bien d'autres impossibilités contre cette doctrine.

§ 3. Les choses sensibles ne peuvent venir des Idées, d'aucune des manières où l'on entend d'ordinaire cette expression. [25] Prétendre que les Idées sont des exemplaires, et que tout le reste des choses en participent, ce ne sont là que des mots vides de sens et des métaphores poétiques. Que veut-on dire en affirmant que l'artiste ne peut rien faire qu'en ayant les yeux fixés sur les Idées? Tout peut exister, tout peut se produire, sans qu'on ait besoin de copier un modèle. Que Socrate existe ou n'existe pas, on peut toujours former un dessin qui lui ressemble. [30] Et ce n'est pas moins évident, Socrate fût–il éternel.

§ 4. Puis, il y aura plusieurs modèles pour une même chose; et, par suite, plusieurs Idées. Pour l'homme, par exemple, les modèles seraient l'animal, le bipède, l'homme en soi, etc. Ajoutez que les Idées seraient des modèles, non pas seulement pour les choses sensibles, mais pour les [35] Idées mêmes. Ainsi, le genre serait le modèle des espèces qui sont rangées sous le genre; et par conséquent, une même chose serait tout ensemble modèle et copie.

§ 5. On peut encore trouver impossible que la substance soit isolée de ce dont elle est la substance. [1080a] Et, alors comment concevoir que les Idées, qui sont les substances des choses, peuvent néanmoins en être isolées? Dans le Phédon, il est dit en propres termes que les Idées sont les causes de l'existence et de la production des choses. Mais les Idées ont beau exister, les choses ne se produisent pas, s'il n'y a point de moteur qui puisse les produire. D'autre part, il se produit une foule de choses pour lesquelles on n'a pas l'air cependant d'admettre [5] qu'il y ait d'Idées, telles qu'une maison, un anneau, etc.; et ceci montre bien que les choses dont on dit qu'il y a des Idées, existent et se produisent par les mêmes causes qui, sous nos yeux, produisent bien les choses dont nous venons de parler, sans que, cependant, il y ait des Idées pour les produire.

§ 6. Ainsi, en poursuivant cette discussion sur les Idées, on pourrait, par des arguments encore [10] plus réguliers et plus pressants, accumuler contre ce système une multitude d'objections, du genre de celles que nous venons de présenter.

§§ 1, 2, 3, 4 et 5. Tous ces §§ sont empruntés encore au livre I, ch. VII, §§ 37 et suivants. Je prie encore le lecteur de vouloir bien sa reporter aux explications que j'ai antérieurement données, et qui ont été suffisamment développées.

§ 6. Ce §, qui termine cette partie de la discussion contre la théorie des Idées, ne se trouve pas dans le livre I, loc. cit. Après la critique de la théorie des Nombres, Aristote revient à la critique de la théorie des Idées, et il la poursuit pus loin. liv. XIII, ch. IX, § 13, et liv. XIV, ch. II et suivants.

CHAPITRE VI

Critique de la théorie des Nombres; diverses manières de comprendre la nature du nombre; explication du nombre mathématique ; trois espèces de nombres ; opinions des philosophes sur cette question; doctrine particulière des Pythagoriciens ; ils font des nombres la substance des choses sensibles ; théorie contraire du nombre idéal; théories du nombre appliquées également aux longueurs, aux surfaces et aux solides; réfutation générale de toutes ces doctrines sur les Nombres.

§ 1. Après avoir discuté ces matières, nous ferons bien de revenir à la théorie des nombres, pour faire voir les conséquences où l'on aboutit, quand on considère les nombres comme des substances séparées, et qu'on les prend pour les causes premières des choses.

§ 2. [15] Si le nombre est une nature particulière, et que la substance du nombre ne soit pas autre chose que cette nature même, ainsi qu'on l'avance quelquefois, il y a nécessité qu'il y ait un nombre qui soit le premier, puis un second, qui vient à la suite du premier, chacun d'eux étant d'une espèce différente. Ceci s'applique, ou directement aux unités, et alors, une unité, quelle qu'elle soit, ne peut pas se combiner avec une autre unité [20] quelconque; ou bien, toutes les unités, quelles qu'elles puissent être, se combinent successivement avec des unités quelconques, ainsi qu'on le suppose pour Ie nombre mathématique, puisqu'en effet, dans le nombre mathématique, une unité ne présente point de différence avec une autre unité, en quoi que ce soit.

§ 3. Ou bien encore, certaines unités se combinent entre elles, tandis que d'autres ne se combinent pas. Par exemple, Deux est le premier nombre après Un, Trois après Deux, et ainsi de suite [25] pour toute la série des nombres. Mais, dans chaque nombre, les unités pourraient se combiner entre elles : et, par exemple, dans la première Dyade, les deux unités qui la forment se combinent entre elles, de même que, dans la première Triade, les unités qui la forment se combinent également; et ainsi de suite, pour le reste des nombres. Mais les unités qui sont dans le nombre Deux lui-même, peuvent ne pas se combiner avec les unités du nombre Trois. Et de même, pour tous les nombres [30] subséquents.

§ 4. Aussi, le nombre mathématique se compte Deux après Un, en ajoutant une unité nouvelle à celle qu'on a déjà; Trois se forme en ajoutant une autre unité aux deux précédentes ; et ainsi de suite, par le même procédé. Au contraire, dans le nombre idéal, après Un, Deux est un autre nombre, qui n'emprunte rien à la première unité; Trois est également séparé de Deux, auquel il n'emprunte rien non plus; et ainsi de suite, pour [35] tout autre nombre.

§ 5. Ou bien enfin, il faut dire que, parmi les nombres, l'un est comme la première espèce de nombre dont nous avons parlé; l'autre est le nombre comme le comprennent les mathématiciens; et le troisième est celui dont il vient d'être question en dernier lieu.

§ 6. Autre considération. Ou, il faut que les nombres soient séparés des choses ; [1080b] ou bien, ils n'en sont pas séparés, et ils sont dans les objets sensibles; non pas tout à fait au sens où nous l'avons expliqué d'abord, mais comme si les choses sensibles étaient formées des nombres qui sont en elles. On peut dire encore que, parmi les nombres, l'un est séparé des choses, et que l'autre ne l'est pas, ou bien que tous le sont.

§ 7. Telles sont nécessairement les seules manières [5] de comprendre l'existence des nombres. Aussi, les philosophes même qui font de l'unité le principe, la substance et l'élément de toutes choses, et qui tirent le nombre de l'unité et de quelque autre élément, ont-ils adopté presque tous une de ces solutions, excepté celle où l'on affirme que les unités ne peuvent se combiner entre elles. [10] Et cela est tout simple, puisqu'il n'y a pas d'autre point de vue possible, en dehors de ceux que nous avons indiqués.

§ 8. Ainsi donc, les uns disent que ces deux sortes de nombres existent simultanément, à savoir le nombre qui a antériorité et postériorité, en d'autres termes, les Idées, et le nombre mathématique, qui est à la fois en dehors des Idées et des choses sensibles ; ces deux espèces de nombres étant, d'ailleurs, séparées également des choses que peuvent percevoir nos sens. D'autres philosophes soutiennent que le nombre mathématique [15] tout seul est la première de toutes les entités, et qu'il est séparé des choses sensibles.

§ 9. Quant aux Pythagoriciens, ils ne reconnaissent qu'un seul nombre, le nombre mathématique. Ils ne le séparent pas des choses, il est vrai ; mais ils prétendent en composer toutes les substances sensibles. Et en effet, ils constituent le ciel tout entier avec des nombres, lesquels, nous le reconnaissons, ne sont pas composés d'unités; mais [20] ils supposent que les unités peuvent avoir de la grandeur. Toutefois, ils ne semblent pas en état de nous apprendre comment la première unité a pu se former, en ayant une grandeur quelconque. Enfin, il y a tel autre philosophe qui n'admet, pour premier nombre, que le seul nombre idéal; et quelques-uns prétendent que ce même nombre est précisément le nombre mathématique.

§ 10.  Des dissentiments pareils se produisent, en ce qui regarde la théorie des longueurs, des surfaces et des solides. [25] Tantôt, on distingue les grandeurs mathématiques des grandeurs idéales. Mais parmi ceux qui ne font pas cette distinction, les uns admettent les grandeurs mathématiques et n'en parlent que mathématiquement, et ce sont tous ceux qui ne veulent pas que les Idées soient des nombres et qui nient même l'existence des Idées ; les autres admettent bien les grandeurs mathématiques; mais ils n'en parlent pas comme de vrais mathématiciens, puisqu'ils affirment que toute grandeur ne peut pas se diviser en grandeurs, et que [30] toutes les unités quelconques ne peuvent pas indifféremment composer une Dyade.

§ 11. Tous les philosophes qui reconnaissent l'unité pour l'élément, et le principe, de toutes choses, conviennent que les nombres sont composés d'unités. Il faut cependant faire exception pour les Pythagoriciens, qui veulent que les éléments des choses aient une grandeur, ainsi qu'on l'a dit plus haut.

§ 12. D'après ce qui précède, on doit voir quels sont tous les points de vue auxquels on peut étudier les nombres, et l'on peut se convaincre qu'ils se réduisent à [35] ceux que nous avons énumérés. Toutes ces théories sont insoutenables, bien que quelques-unes le soient peut-être encore plus que les autres.

§ 1. Comme des substances séparées. Voir pus haut, liv. I, ch. V, § 2, la théorie pythagoricienne des Nombres, critiquée il peu près comme elle l'est ici, quoique avec moins de développement. Mais cette indépendance absolue des Nombres et leur séparation ont été soutenues par quelques disciples de Platon, plus encore que par Platon lui-même. - Les causes premières des choses. C'est surtout cette partie de la théorie qui peut être attribuée aux Pythagoriciens.

§ 2. Si le nombre... Ici, comme dans une foule d'autres passages, l'exposition d'Aristote manque d'ordre et de clarté, et il est bien difficile de s'en rendre compte. M. Schwegler, suivi en partie par M. Bonitz, voit dans ces §§, y compris le § trois hypothèses : 1° Les unités dont se compose le nombre ne peuvent se combiner; et chaque nombre est séparé de celui qui le suit ou le précède; 2° certaines unités peuvent se combiner entre elles (§ 3) et d'autres. ne le peuvent pas; 3° enfin (§ 5) certains nombres se composent d'unités semblables entre elles, et d'autres nombres se composent d'unités différentes. Je ne crois pas que celte division puisse être admise; et le commentaire d'Alexandre d'Aphrodise ne l'autorise pas plus que le texte. J'ai quelque peine à avancer une hypothèse de plus au milieu de toutes ces obscurités; mais, si l'on peut tirer du texte une division précise, ce serait celle-ci d'abord, chaque nombre peut être regardé comme formant un tout séparé et distinct de tout mitre nombre. Dans le nombre ainsi considéré les unités, qui le forment, peuvent ne passe combiner entre elles, ou lies peuvent se combiner; ce qui fait alors le nombre qu'on appelle mathématique, Ou bien, dans un même nombre, il y a des unités qui se combinent et d'autres qui ne se combinent pas. Voilà, ce me semble, les divisions principales qu'on peut tirer du texte. En d'autres termes, Aristote ne distingue au fond que le nombre mathématique, qui se forme d'unités semblables ajoutées successivement les unes aux autres, et le nombre idéal, qui forme un tout absolument indépendant: le nombre Deux, par exemple, n'ayant aucun rapport avec le nombre Trois, ni avec les nombres suivants, qui sont indépendants au même titre que lui. Le texte étant ainsi entendu, il n'y aurait que deux divisions, au lieu des trois que reconnais M. Schwegler. - Une nature particulière. C'est le nombre idéal, tandis que le nombre mathématique ordinaire se forme d'unités qui s'ajoutent successivement les unes aux autres. - Étant d'une espèce différente. C'est là le caractère propre du nombre idéal. - Aux unités, dont se compose chaque nombre idéal. Ces unités ne se combinent pas plus entre elles que les nombres ne se combinent entre eux. Chaque nombre forme une entité à part.

§ 3. Ou bien encore. Ceci peut sembler une explication, et comme une répétition, de ce qui précède, plutôt qu'une division nouvelle. - Mais, dans chaque nombre. Il est difficile de comprendre comment Ie nombre se formerait si les unités qui le composent ne pouvaient pas se combiner, de manière à former un tout.

§ 4. Aussi le nombre mathématique. C'est le nombre tel qu'on le comprend ordinairement. Le nombre idéal est une création de l'esprit, une conception purement rationnelle. Dans le sens vulgaire du mot, Nombre ne signifie qu'une accumulation d'unités, à la suite les unes des autres, et toutes pareilles entre elles. - Dans le nombre idéal. Le texte n'est pas aussi formel; mais il me semble que le sens ne peut pas faire de doute; voir plus haut, § 2.

§ 5. Ou bien enfin. Ceci me semble encore un résumé, bien plutôt qu'une division nouvelle. - La première espèce de nombre... C'est le nombre idéal. - Et le troisième. C'est là ce qui a peut-être autorisé M. Schwegler à reconnaître les trois divisions signalées pus haut.

§ 6. Expliqué d'abord. Voir plus haut, ch. II, §§ 1 et suiv. - Formées des nombres qui sont en elles. C'est la pure théorie Pythagoricienne. - L'un est séparé des choses. Ce serait le nombre idéal. - L'autre ne l'est pas. C'est le nombre mathématique.

§ 7. Une de ces solutions, Voir plus haut, § 5. - Les unités ne peuvent se combiner entre elles. Cette hypothèse rend, en effet, la formation des nombres absolument impossible.

§ 8. Ces deux sortes de nombres. Le nombre arithmétique et le nombre idéal. Cette théorie a peut-être été soutenue par Speusippe ou par Xénocrate ; il est difficile, d'après les trop tares témoignages de l'Antiquité, de savoir précisément à qui elle appartient. - D'autres philosophes. Ce sont encore des Platoniciens. La suite semble prouver qu'il ne s'agit pas ici des Pythagoriciens.

§ 9. Quant aux Pythagoriciens. Aristote, quand il parle des Pythagoriciens, ne peut faire allusion qu'a ceux qui étaient fort antérieurs à son siècle. De son temps, le Pythagorisme était déjà à peu près disparu, et les traditions principales qui en restaient avaient été recueillies par quelques membres de l'école Platonicienne. - En composer toutes les substances sensibles. Voir pus haut, liv. I, ch. V § 7; et au Traité du Ciel, liv. III, ch. I, § 16, p. 322 de ma traduction. - Ne sont pas composés d'unités. Ces théories des Pythagoriciens ne sont connues que par le témoignage d'Aristote ; et ce qu'il en dit ici est trop peu développé peut qu'on puisse bien juger leur système. Des nombres qui ne sont pas formés d'unités, ne peuvent être que des nombres purement idéaux. - Tel autre philosophe. Il semble que le philosophe ainsi désigné est Xénocrate, parce que les théories de Speusippe, citées plus haut, liv. VII, ch. II, § 4, sont différentes. - Quelques-uns. Soit des Platoniciens, soit des Pythagoriciens.

§ 10. Des dissentiments pareils. Le texte n'est pas aussi formel. - Tantôt, on distingue. Ceci ne peut se rapporter qu'à l'école de Platon. - Et n'en parlent que mathématiquement. Alexandre d'Aphrodise explique ceci en disant que parler « mathématiquement » des grandeurs, c'est les supposer divisibles à l'infini, tandis que les supposer indivisibles est une erreur mathématique. Le contexte prouve que c'est bien là le sens de ce passage.

§ 11. Ainsi qu'on l'a dit plus haut. Voir plus haut, § 9. Tout ce § semble n'être qu'une glose, intercalée dans le texte par quelque commentateur.

§ 12. Toutes ces théories sont insoutenables. Ce jugement peut sembler bien sévère; et les théories que combat Aristote ne sont pas complètement fausses. bien que sur quelques points elles le soient réellement. C'est une critique un peu exagérée.

CHAPITRE VII

Suite de la critique de la théorie des Nombres; question de savoir si les unités peuvent ou ne peuvent pas se combiner ; les Idées ne peuvent pas être des nombres; de la formation des nombres; réfutation de quelques erreurs; insuffisance de la théorie qui fait sortir tous les nombres de l'unité et de la Dyade indéterminée ; conséquences insoutenables qui en résultent; difficultés réelles de la théorie des Nombres ; on peut soutenir que les unités sont différentes les unes des autres, ou qu'elles ne présentent aucune différence ; nature particulière des unités dont le nombre se compose; elles sont sans aucune différence; réponse aux systèmes contraires.

§ 1. La première question que nous ayons à examiner, c'est de savoir si les unités peuvent se combiner entre elles, ou si elles ne le peuvent pas. Au cas où leur combinaison serait reconnue impossible, nous aurions à démontrer, dans lequel des sens divers indiqués par nous, elles ne peuvent pas se combiner. Il est possible, d'abord, qu'aucune unité ne puisse se combiner avec aucune autre unité quelconque. [1081a] Ainsi, il est possible que les unités qui sont dans le nombre Deux, pris en soi, ne se combinent pas avec les unités qui composent le nombre Trois, pris en soi également. Mais il se peut encore que, de la même façon, les unités qui sont dans chaque premier nombre ne puissent pas non plus se combiner [5] entre elles.

§ 2. Si l'on admet, au contraire, que toutes les unités peuvent se combiner ensemble, et qu'elles ne présentent aucune différence, on a alors le nombre mathématique; il n'y a plus que ce nombre tout seul ; et il est impossible que les idées soient des nombres. En effet, quelle sorte de nombre pourrait bien être l'homme en soi, ou l'animal en soi, ou toute autre Idée? L'Idée est unique pour chaque objet: et, par exemple, il n'y a qu'une seule Idée pour l'homme en soi, de même qu'il n'y a qu'une seule Idée, mais différente, [10] pour l'animal en soi. Tout au contraire, quand des nombres sont pareils et qu'ils n'offrent entre eux aucune différence, ils sont infinis, de telle façon qu'une Triade quelconque ne représente pas plus l'homme que telle autre Triade indifféremment.

§ 3. Mais, si les Idées ne sont pas des nombres, il s'ensuit que les Idées ne peuvent pas absolument exister. De quel principe, en effet, pourront-elles venir? Le nombre se forme, dit-on, de l'unité et de la Dyade [15] indéfinie. Ce sont là ce qu'on appelle les principes et les éléments du nombre ; mais, sous le rapport de l'ordre, les Idées ne peuvent être, ni antérieures, ni postérieures, aux nombres.

§ 4. D'autre part, si les unités sont incompatibles entre elles, et incompatibles en ce sens qu'aucune ne peut se combiner avec aucune autre, dès lors, il n'est plus possible que ce nombre soit le nombre mathématique. Car le nombre mathématique se compose d'unités qui n'offrent aucune différence entre elles; [20] et toutes les démonstrations qu'on fait sur Ies nombres supposent une condition de ce genre, Mais ce nombre n'est pas plus le nombre idéal que le nombre mathématique. Car la première Dyade ne pourrait plus se composer de l'unité et de la Dyade indéfinie, non plus que les nombres venant à la suite les uns des autres, et qui sont, comme on le dit, la Dyade, la Triade, la Tétrade, etc.

§ 5. Les unités qui forment la première Dyade sont produites en même temps I'une et l'autre, soit qu'à la manière indiquée par le premier auteur de cette théorie, elles viennent d'éléments inégaux [25] rendus égaux, soit qu'elles se produisent autrement. D'autre part, si l'une des deux unités de la Dyade était antérieure à l'autre, elle devrait être antérieure aussi à la dualité totale composée de ces deux unités; car, lorsque, dans un tout, telle partie est antérieure et telle autre postérieure, il faut, aussi, que le tout formé de ces parties soit antérieur à l'une et postérieur à l'autre.

§ 6. Comme d'un autre côté, l'unité en soi est la première, il faut qu'il y ait aussi, pour tout le reste, une première unité; [30] une seconde vient après la première, et une troisième après la seconde; la seconde après la seconde est la troisième après la première. Par conséquent, les unités deviendraient antérieures aux nombres dans lesquels elles se mêlent. Ainsi, dans la Dyade, il y aurait déjà une troisième unité avant même que le nombre Trois ne fût formé; dans la Triade, il y aurait une quatrième unité, et une cinquième dans la Tétrade, avant même la formation de tous ces nombres.

§ 7. Personne, je le reconnais, parmi ces philosophes n'a pu entendre que les unités étaient incompatibles entre elles à la façon qu'on vient de dire. Mais ce serait là une conséquence très logique des principes admis par eux, quoiqu'en réalité rien ne soit plus faux. [1081b] Il est tout simple, en effet, qu'il y ait des unités antérieures et des unités postérieures, du moment qu'il y a une unité première et un premier Un. Il en doit être de même pour les Dyades, du moment qu'on admet une Dyade première; car, après un premier, il est rationnel, bien plus,[5]  il est nécessaire qu'il y ait un second; puis un troisième, s'il y a un second, et ainsi de suite pour tout le reste, Mais ce qui est bien impossible, c'est de soutenir ces deux assertions à la fois, à savoir qu'il y a une première unité en soi, puis une seconde après l'Un en soi, et qu'il y a aussi une première Dyade. Or, ces philosophes disent bien que l'unité et l'Un sont les termes premiers; mais ils ne parlent, ni de second, ni de troisième. Ils parlent bien aussi d'une première Dyade; mais ils ne disent rien, ni d'une seconde, [10] ni d'une troisième.

§ 8. Évidemment encore, si les unités ne peuvent jamais se combiner, il ne peut non plus jamais y avoir, ni de Dyade en soi, ni de Triade en soi, non plus qu'aucun des autres nombres. En effet, soit que les unités ne présentent aucune différence entre elles, soit qu'elles diffèrent chacune à chacune, il n'en est pas moins nécessaire que le nombre se forme, et se compte toujours, par addition. Par exemple, [15] Deux se compose, après Un, par l'addition d'une unité nouvelle; Trois se forme par l'addition d'Un à Deux, et Quatre de même, etc.

§ 9. Ceci étant de toute évidence, il est bien impossible que les nombres s'engendrent, comme ces philosophes prétendent les engendrer, avec la Dyade et l'Unité; car la Dyade est une partie de la Triade, comme Trois est une partie de Quatre; [20] la même remarque s'appliquant à toute la série des nombres. Mais c'est de la première Dyade et de la Dyade indéfinie qu'on voulait faire venir le nombre Quatre, la Tétrade; c'est-à-dire qu'il y a deux Dyades indépendamment de la Dyade en soi.

§ 10. Mais si cela n'est pas, la Dyade en soi est alors une partie de la Tétrade ; et il faudra qu'une autre Dyade, isolée aussi, s'ajoute à la première. Or, cette Dyade se composera toujours de l'unité en soi et d'une autre unité. [25] Si cela est vrai, il est impossible, par cela même que la Dyade indéfinie soit l'autre élément de Quatre; car en fait, cette Dyade ne forme qu'une seule unité, et non pas une Dyade déterminée et réelle.

§ 11. De plus, comment, outre la Triade en soi, outre la Dyade en soi, d'autres Triades, ou d'autres Dyades, pourront-elles exister? Comment se composeront-elles avec des unités dont les unes seraient antérieures, et les autres postérieures? Tout ce système [30] n'est qu'une pure illusion; et il ne peut y avoir, ni Dyade en soi, ni Triade en soi. Il faudrait bien, cependant, qu'il y en eût, si les éléments des nombres sont vraiment l'Unité et la Dyade indéterminée. Ces conséquences étant insoutenables, il est impossible aussi de soutenir que ce soient là les principes véritables des nombres.

§ 12. On le voit donc, si l'on prétend que les unités sont toujours différentes les unes des autres, quelles qu'elles soient, voilà les difficultés qu'on soulève nécessairement, outre bien d'autres difficultés analogues à celles-là. Que si l'on dit seulement que les unités sont différentes d'un nombre à un autre, et que celles-là seules ne présentent point de différence entre elles qui sont dans le même nombre, on retrouve, dans cette théorie restreinte, à peu près toutes les difficultés que nous venons de signaler.

§ 13. [1082a] Ainsi, dans la Décade en soi, il y a dix unités. Et en effet, la Décade se compose tout aussi bien de ces dix unités, que de deux Pentades, ou deux fois Cinq. Mais, comme cette Décade en soi n'est pas un nombre quelconque ordinaire, et qu'elle n'est pas composée de Pentades prises au hasard, pas plus qu'elle ne l'est d'unités arbitraires, il faut nécessairement [5] que Ies unités, comprises dans cette Décade, présentent des différences entre elles.

§ 14. Si, en effet, elles ne diffèrent pas les unes des autres, les deux Pentades ne différeront pas non plus dans la Décade qu'elles forment. Mais comme les deux Pentades diffèrent entre elles, les unités de la Décade différeront également. Si les unités diffèrent, n'y aura-t-il pas d'autres Pentades, d'autres nombres Cinq, dans la Décade? Ou bien n'y aura-t-il que ces deux nombres Cinq exclusivement ? S'il n'y en a pas, c'est inconcevable; [10] et s'il y en a, quelle sera la nouvelle Décade qu'ils formeront? Il n'y a pas, dans la Décade, une autre Décade possible en dehors d'elle. Il faut tout aussi nécessairement que la Tétrade ne se compose pas de Dyades quelconques; car, à entendre nos philosophes, c'est la Dyade indéterminée qui, en prenant la Dyade déterminée, a composé deux Dyades; et c'est par cette adjonction qu'elle a pu faire [15]  Deux.

§ 15. D'autre part, comment concevoir que la Dyade puisse être une nature distincte, indépendamment des deux unités qui la composent? que la Triade soit aussi quelque chose, en dehors des trois unités qui la forment? Ou bien, l'un participera de l'autre, en ce même sens où l'Homme-blanc est quelque chose en dehors du blanc et en dehors de l'homme, tout en participant de chacun d'eux; ou bien, l'un ne sera qu'une différence de l'autre, comme l'homme [20] est quelque chose en dehors de l'animal et du bipède.

§ 16. Il y a, de plus, des choses dont l'unité résulte d'un contact; pour d'autres, l'unité vient d'un mélange; pour d'autres encore, elle vient de la position. Or rien de tout cela ne pourrait s'appliquer aux unités dont se composent la Dyade et la Triade. Mais, de même que deux hommes ne forment pas une unité en dehors de tous deux, de même la séparation est également nécessaire pour ces unités. Ce n'est pas, d'ailleurs, parce qu'elles sont indivisibles que les unités présentent une différence avec les deux hommes. Les points [25] également sont indivisibles; et cependant, la Dyade que deux points peuvent former, n'est rien en dehors et indépendamment de ces deux points.

§ 17. Il ne faut pas non plus oublier de remarquer que les Dyades peuvent être antérieures et postérieures, de même que le peuvent être également tous les autres nombres ordinaires. Car, si l'on suppose que les deux Dyades qui forment le nombre Quatre sont simultanées l'une à l'autre, il n'en est pas moins vrai qu'elles sont antérieures aux Dyades qui entrent dans la composition du nombre [30] Huit, et que, de même que la Dyade en soi les a produites, de même elles produisent à leur tour Ies deux Tétrades, les deux fois Quatre, qui sont dans ce nombre Huit en soi. Par conséquent, si la première Dyade est une Idée, il faut aussi que ces nouvelles Dyades soient des Idées de certaine espèce.

§ 18. Le même raisonnement s'appliquerait aux unités simples, puisque les unités qui sont dans la première Dyade, engendrent les quatre autres, qui composent le nombre Quatre. [35] De cette façon, toutes les unités deviennent des Idées, et alors l'Idée se compose d'Idées. Ce qui n'est pas moins évident, c'est que les objets dont ce seront là les Idées, seront alors des composés, et qu'on arrivera, par exemple, à dire que les animaux se composent d'animaux, et s'il y a des Idées d'animaux, ces Idées seront formées d'animaux aussi.

§ 19. [1082b] D'une manière générale, admettre que les unités diffèrent d'une façon quelconque, c'est tout ensemble une erreur et une fiction; et par ce mot de fiction, j'entends qu'on fait violence à l'hypothèse même qu'on soutient. En effet, [5] il est évident qu'une unité ne peut différer d'une autre unité, ni en quantité, ni en qualité, et que nécessairement tout nombre ne peut être qu'égal ou inégal. Or, cela est vrai surtout pour le nombre formé d'unités. Donc, le nombre qui n'est, ni plus grand, ni plus petit, est égal. Par suite, les choses égales, et; d'une manière absolue, les choses qui ne présentent pas de différence entre elles, sont pour nous identiques, quand il s'agit de nombre. S'il n'en était pas ainsi, les Dyades mêmes qui entrent dans la composition de la Décade en soi, [10]  tout égales qu'elles sont, ne seront plus sans différence entre elles; car, quelle cause pourrait-on alléguer pour affirmer qu'elles ne présentent aucune différence?

§ 20. De plus, si toute unité et une autre unité quelconque, jointes ensemble, font deux unités, l'unité empruntée de la Dyade en soi et l'unité empruntée de la Triade en soi, formeront une Dyade composée d'unités différentes ; et alors, cette Dyade nouvelle sera-t-elle antérieure, ou postérieure, à la Triade? Ce qui semble le plus admissible, [15] c'est qu'elle doit nécessairement lui être antérieure; car, des deux unités, l'une est en même temps dans la Triade, et l'autre est en même temps dans la Dyade.

§ 21. Pour nous, nous affirmons d'une manière générale qu'Un et Un font toujours Deux, que d'ailleurs Ies deux objets soient égaux ou inégaux : par exemple, le bien et le mal, l'homme et le cheval. Mais les philosophes qui adoptent le système contraire, n'admettent même pas que les unités forment une Dyade. Soutenir que le nombre Trois [20] n'est pas plus fort que le nombre Deux, ce serait déjà bien étonnant; mais si le nombre Trois est plus fort, il est clair aussi qu'il y a dans la Triade un nombre égal à Deux; et ce nombre Deux dans la Triade ne présente aucune différence avec le nombre Deux qui forme la Dyade. Or, cette égalité n'est plus possible, si un nombre est le premier, et qu'un autre nombre soit le second; et par suite, les Idées ne peuvent pas non plus être des nombres.

§ 22. Du reste, c'est là ce que peuvent dire avec raison [25] ceux qui admettent la différence des unités entre elles, afin qu'elles puissent être des Idées, comme on l'a expliqué plus haut; car l'Idée est toujours Une. Si, d'ailleurs, les unités sont sans différence entre elles, les Dyades et les Triades n'en présenteront pas non plus. Voilà comment nos philosophes sont nécessairement amenés à prétendre [30] que, quand on compte Un, Deux, etc., on n'ajoute pas une unité au nombre qu'on a déjà. C'est qu'en effet la génÃ