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CHAPITRE XIV.

Comparaison de la démonstration par l'absurde et de la démonstration ostensifs. — Différenoes et mpporta dm deux démonstrations, dans les propositions, les termes, la figure, — Résolution des Syllogismes par l'absurde en Syllogismes ostensifs. — Première figure; seconde figure; troisième figure; — Résolution des Syllogismes ostensifs en Syllogismes par l'absurde. — Remarques générales sur la liaison des  deux espèces de démonstrations.

1 Διαφέρει δ´ ἡ εἰς τὸ ἀδύνατον ἀπόδειξις τῆς δεικτικῆς τῷ τιθέναι ὃ βούλεται ἀναιρεῖν ἀπάγουσα εἰς ὁμολογούμενον ψεῦδος· ἡ δὲ δεικτικὴ ἄρχεται ἐξ ὁμολογουμένων θέσεων. Λαμβάνουσι μὲν οὖν ἀμφότεραι δύο προτάσεις ὁμολογουμένας· ἀλλ´ ἡ μὲν ἐξ ὧν ὁ συλλογισμός, ἡ δὲ μίαν μὲν τούτων, μίαν δὲ τὴν ἀντίφασιν τοῦ συμπεράσματος. 2 Καὶ ἔνθα μὲν οὐκ ἀνάγκη γνώριμον εἶναι τὸ συμπέρασμα, οὐδὲ προϋπολαμβάνειν ὡς ἔστιν ἢ οὔ· ἔνθα δὲ ἀνάγκη ὡς οὐκ ἔστιν. Διαφέρει δ´ οὐδὲν φάσιν ἢ ἀπόφασιν εἶναι τὸ συμπέρασμα, ἀλλ´ ὁμοίως ἔχει περὶ ἀμφοῖν.

3 Ἅπαν δὲ τὸ δεικτικῶς περαινόμενον καὶ διὰ τοῦ ἀδυνάτου δειχθήσεται, καὶ τὸ διὰ τοῦ ἀδυνάτου δεικτικῶς διὰ τῶν αὐτῶν ὅρων [οὐκ ἐν τοῖς αὐτοῖς δὲ σχήμασιν]. 4 Ὅταν μὲν γὰρ ὁ συλλογισμὸς  [63a] ἐν τῷ πρώτῳ σχήματι γένηται, τὸ ἀληθὲς ἔσται ἐν τῷ μέσῳ ἢ τῷ ἐσχάτῳ, τὸ μὲν στερητικὸν ἐν τῷ μέσῳ, τὸ δὲ κατηγορικὸν ἐν τῷ ἐσχάτῳ. Ὅταν δ´ ἐν τῷ μέσῳ ὁ συλλογισμός, τὸ ἀληθὲς ἐν τῷ πρώτῳ ἐπὶ πάντων τῶν προβλημάτων. Ὅταν δ´ ἐν τῷ ἐσχάτῳ ὁ συλλογισμός, τὸ ἀληθὲς ἐν τῷ πρώτῳ καὶ τῷ μέσῳ, τὰ μὲν καταφατικὰ ἐν τῷ πρώτῳ, τὰ δὲ στερητικὰ ἐν τῷ μέσῳ. 5 Ἔστω γὰρ δεδειγμένον τὸ Α μηδενὶ ἢ μὴ παντὶ τῷ Β διὰ τοῦ πρώτου σχήματος. Οὐκοῦν ἡ μὲν ὑπόθεσις ἦν τινὶ τῷ Β ὑπάρχειν τὸ Α, τὸ δὲ Γ ἐλαμβάνετο τῷ μὲν Α παντὶ ὑπάρχειν, τῷ δὲ Β οὐδενί· οὕτω γὰρ ἐγίνετο ὁ συλλογισμὸς καὶ τὸ ἀδύνατον. Τοῦτο δὲ τὸ μέσον σχῆμα, εἰ τὸ Γ τῷ μὲν Α παντὶ τῷ δὲ Β μηδενὶ ὑπάρχει. Καὶ φανερὸν ἐκ τούτων ὅτι οὐδενὶ τῷ Β ὑπάρχει τὸ Α. 6 Ὁμοίως δὲ καὶ εἰ μὴ παντὶ δέδεικται ὑπάρχον. Ἡ μὲν γὰρ ὑπόθεσίς ἐστι παντὶ ὑπάρχειν, τὸ δὲ Γ ἐλαμβάνετο τῷ μὲν Α παντί, τῷ δὲ Β οὐ παντί. 7 Καὶ εἰ στερητικὸν λαμβάνοιτο τὸ Γ Α, ὡσαύτως· καὶ γὰρ οὕτω γίνεται τὸ μέσον σχῆμα. 8 Πάλιν δεδείχθω τινὶ ὑπάρχον τῷ Β τὸ Α. Ἡ μὲν οὖν ὑπόθεσις μηδενὶ ὑπάρχειν, τὸ δὲ Β ἐλαμβάνετο παντὶ τῷ Γ ὑπάρχειν καὶ τὸ Α ἢ παντὶ ἢ τινὶ τῷ Γ· οὕτω γὰρ ἔσται τὸ ἀδύνατον. Τοῦτο δὲ τὸ ἔσχατον σχῆμα, εἰ τὸ Α καὶ τὸ Β παντὶ τῷ Γ. Καὶ φανερὸν ἐκ τούτων ὅτι ἀνάγκη τὸ Α τινὶ τῷ Β ὑπάρχειν.  9 Ὁμοίως δὲ καὶ εἰ τινὶ τῷ Γ ληφθείη ὑπάρχον τὸ Β ἢ τὸ Α.

10 Πάλιν ἐν τῷ μέσῳ σχήματι δεδείχθω τὸ Α παντὶ τῷ Β ὑπάρχον. Οὐκοῦν ἡ μὲν ὑπόθεσις ἦν μὴ παντὶ τῷ Β τὸ  [64] Α ὑπάρχειν, εἴληπται δὲ τὸ Α παντὶ τῷ Γ καὶ τὸ Γ παντὶ τῷ Β· οὕτω γὰρ ἔσται τὸ ἀδύνατον. Τοῦτο δὲ τὸ πρῶτον σχῆμα, τὸ Α παντὶ τῷ Γ καὶ τὸ Γ παντὶ τῷ Β. 11 Ὁμοίως δὲ καὶ εἰ τινὶ δέδεικται ὑπάρχον· ἡ μὲν γὰρ ὑπόθεσις ἦν μηδενὶ τῷ Β τὸ Α ὑπάρχειν, εἴληπται δὲ τὸ Α παντὶ τῷ Γ καὶ τὸ Γ τινὶ τῷ Β. 12 Εἰ δὲ στερητικὸς ὁ συλλογισμός, ἡ μὲν ὑπόθεσις τὸ Α τινὶ τῷ Β ὑπάρχειν, εἴληπται δὲ τὸ Α μηδενὶ τῷ Γ καὶ τὸ Γ παντὶ τῷ Β, ὥστε γίνεται τὸ πρῶτον σχῆμα.13  Καὶ εἰ μὴ καθόλου ὁ συλλογισμός, ἀλλὰ τὸ Α τινὶ τῷ Β δέδεικται μὴ ὑπάρχειν, ὡσαύτως. Ὑπόθεσις μὲν γὰρ παντὶ τῷ Β τὸ Α ὑπάρχειν, εἴληπται δὲ τὸ Α μηδενὶ τῷ Γ καὶ τὸ Γ τινὶ τῷ Β· οὕτω γὰρ τὸ πρῶτον σχῆμα.

14 Πάλιν ἐν τῷ τρίτῳ σχήματι δεδείχθω τὸ Α παντὶ τῷ Β ὑπάρχειν. Οὐκοῦν ἡ μὲν ὑπόθεσις ἦν μὴ παντὶ τῷ Β τὸ Α ὑπάρχειν, εἴληπται δὲ τὸ Γ παντὶ τῷ Β καὶ τὸ Α παντὶ τῷ Γ· οὕτω γὰρ ἔσται τὸ ἀδύνατον. Τοῦτο δὲ τὸ πρῶτον σχῆμα. 15 Ὡσαύτως δὲ καὶ εἰ ἐπὶ τινὸς ἡ ἀπόδειξις· ἡ μὲν γὰρ ὑπόθεσις μηδενὶ τῷ Β τὸ Α ὑπάρχειν, εἴληπται δὲ τὸ Γ τινὶ τῷ Β καὶ τὸ Α παντὶ τῷ Γ. 16 Εἰ δὲ στερητικὸς ὁ συλλογισμός, ὑπόθεσις μὲν τὸ Α τινὶ τῷ Β ὑπάρχειν, εἴληπται δὲ τὸ Γ τῷ μὲν Α μηδενί, τῷ δὲ Β παντί· τοῦτο δὲ τὸ μέσον σχῆμα. 17 Ὁμοίως δὲ καὶ εἰ μὴ καθόλου ἡ ἀπόδειξις. Ὑπόθεσις μὲν γὰρ ἔσται παντὶ τῷ Β τὸ Α ὑπάρχειν, εἴληπται δὲ τὸ Γ τῷ μὲν Α μηδενί, τῷ δὲ Β τινί· τοῦτο δὲ τὸ μέσον σχῆμα.

18 Φανερὸν οὖν ὅτι διὰ τῶν αὐτῶν ὅρων καὶ δεικτικῶς ἔστι δεικνύναι τῶν προβλημάτων ἕκαστον [καὶ διὰ τοῦ ἀδυνάτου].  19 Ὁμοίως δ´ ἔσται καὶ δεικτικῶν ὄντων τῶν συλλογισμῶν εἰς ἀδύνατον ἀπάγειν ἐν τοῖς εἰλημμένοις ὅροις, ὅταν ἡ ἀντικειμένη πρότασις τῷ συμπεράσματι ληφθῇ. Γίνονται γὰρ οἱ αὐτοὶ συλλογισμοὶ τοῖς διὰ τῆς ἀντιστροφῆς, ὥστ´ εὐθὺς ἔχομεν καὶ τὰ σχήματα δι´ ὧν ἕκαστον ἔσται. 20 Δῆλον οὖν ὅτι πᾶν πρόβλημα δείκνυται κατ´ ἀμφοτέρους τοὺς τρόπους, διά τε τοῦ ἀδυνάτου καὶ δεικτικῶς, καὶ οὐκ ἐνδέχεται χωρίζεσθαι τὸν ἕτερον.  

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1 La démonstration par l'absurde diffère de l'ostensive en ce qu'elle pose la proposition qu'elle veut détruire , en conduisant à une absurdité reconnue. La démonstration ostensive, au contraire, prend son point de départ dans des propositions accordées pour vraies. Ainsi l'une et l'autre prennent les deux propositions accordées. Mais l'une prend les propositions mêmes qui doivent donner le syllogisme ; l'autre n'en prend qu'une, avec la contradictoire de la conclusion. 2  Dans l'une, il n'est pas nécessaire que la conclusion soit connue, ni que l'on suppose à l'avance qu'elle est ou qu'elle n'est pas. Dans l'autre, au contraire, il faut nécessairement supposer d'abord qu'elle n'est pas. Peu importe, du reste, que la conclusion soit affirmative ou négative; car le procédé est le même pour les deux cas.

3 Toute conclusion ostensive peut être aussi démontrée par l'absurde; et toute conclusion par l'absurde peut être démontrée ostensivement, et par les mêmes termes, mais non dans les mêmes figures.  4 Lorsque le syllogisme par l'absurde a lieu dans la première figure, la conclusion vraie sera ou dans la moyenne, ou dans la dernière; privative, dans la moyenne; affirmative, dans la dernière. Lorsque le syllogisme par l'absurde a lieu dans la figure moyenne, la conclusion vraie est dans la première, pour toutes les espèces de conclusions. Lorsque le syllogisme est dans la dernière, la conclusion vraie est dans la première et la moyenne; les affirmatives, dans la première; les privatives, dans la moyenne. 5 En effet, soit démontré que A n'est à aucun Β ou η est pas à tout Β, par la première figure ; l'hypothèse était donc que A était à quelque B. Mais l'on a admis que C était à tout A, et qu'il n'était à aucun B; car c'est ainsi que se formait le syllogisme et l'absurdité. Mais c'est là la figure moyenne, quand C est à tout A, et n'est à aucun B : et il est clair alors que A n'est à aucun B.  6 De même, si l'on a démontré qu'il n'était pas à tout; car alors l'hypothèse est qu'il est à tout; mais on admettait que C était à tout A, et qu'il n'était pas à tout B. 7 Et de même, si l'on fait C A privatif; car, dans ce cas, c'est de nouveau la figure moyenne. 8 Qu'il ait encore été démontré que A est à quelque B, l'hypothèse est alors qu'il n'est à aucun B. Mais on admettait que B était à tout C, et que A était ou à tout C, ou à quelque C ; car c'est ainsi qu'on aura une impossibilité. Or c'est là la dernière figure, quand A et B sont à tout C; et il est clair alors qu'il y a nécessité que A soit à quelque B. 9 De même, si l'on a admis que B ou A soit à quelque C.

10 Soit démontré encore, dans la figure moyenne, que A est à tout B ; l'hypothèse était donc que A n'est pas à tout B. Mais l'on a admis que A est à tout G et G à tout B : car c'est ainsi qu'on obtiendra l'absurdité ; or, c'est la première figure quand A est à tout C et C à tout B. 11 Même résultat, si l'on a démontré que A est à quelque B; car l'hypothèse était que A n'était à aucun Β, et l'on a admis que A est à tout C et C à quelque B. 12 Si le syllogisme est privatif, l'hypothèse est que A est à quelque B. Mais l'on a admis, et que A n'est à aucun C, et que C est à tout B; et alors on a la première figure. 13 La preuve est la même, si le syllogisme n'est pas universel et que l'on ait prouvé que A n'est pas à quelque B; car l'hypothèse était que A est, à tout B. Mais l'on a admis que A n'est à aucun C et que C est à quelque B : car, de cette façon, l'on a la première figure.

14 Dans la troisième figure, soit encore démontré que A est à tout B : l'hypothèse était donc que A n'était pas à tout B. Mais l'on a admis que C était à tout B et A à tout C; car c'est ainsi qu'on aura conclu l'absurde ; or, c'est là la première figure. 15 De même, si la conclusion est particulière affirmative; car l'hypothèse sera que A n'est à aucun B; mais l'on a admis que C est à quelque B, et A à tout C. 16 Quand le syllogisme est privatif, l'hypothèse est que A est à quelque B. Mais l'on a admis que C n'est à aucun A et qu'il est à tout B : or, c'est là la figure moyenne. 17 De même, si la conclusion n'est pas universelle; car l'hypothèse sera que A est à tout B. Mais l'on a admis que C n'est à aucun A et qu'il est à quelque B; or c'est là encore la figure moyenne.

18 Il est donc clair qu'avec les mêmes termes, on peut à la fois démontrer chaque conclusion, et ostensiblement et par l'absurde. 19 On pourra, de même encore, quand les syllogismes seront ostensifs, les ramener à l'absurde dans les termes donnés, si l'on prend la contradictoire de la conclusion; car les syllogismes qui se forment ainsi sont pareils à ceux que donne ht conversion ; et alors nous avons aussi sur-le-champ les figures où se forment chacune des conclusions. 20 Il est donc clair que toute conclusion est démontrable des deux manières, et par l'impossible et ostensivement; et que l'on ne saurait isoler l'un de l'autre ces deux procédés.

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§ 1. En ce qu'elle pose la proposition, c'est-à-dire qu'eue l'admet dans les prémisses, soit comme majeure, soit comme mineure; et elle détruit cette proposition en menant à une conclusion absurde ; car la conclusion étant absurde, il faut que l'une des prémisses la soit : or ce ne peut être que l'hypothèse, puisque l'autre proposition est admise comme vraie, alors cette hypothèse même qu'on a posée est détruite, et sa contradictoire, qui est la première conclusion, est prouvée par cela même.

-- Qui  doivent donner le syllogisme, Syllogisme pour conclusion.

§ 2. Dans l'une, dans la démonstration ostensive.

— Dans l'autre, dans la démonstration par l'absurde.

— Qu'elle n'est pas, c'est-à-dire qu'elle est fausse.

— Le procédé est le même, En effet, que la conclusion soit négative ou affirmative, pour la démontrer par réduction à l'absurde, il faut d'abord supposer qu'elle est fausse.

§ 3. Règle générale. Toute démonstration ostensive peut être faite par réduction à l'absurde, et réciproquement, les termes restant les mêmes ; mais les figures changeant.

§ 4. Règles générales pour le changement des figures, quand on veut passer du syllogisme par l'absurde, au syllogisme ostensif.

— Pour toutes les espèces de conclusions, c'est-à-dire, pour tous les modes qui ont été indiqués dans les ch. 11, 12 et 13; mais cette règle n'est plus applicable aux modes omis par Aristote dont la résolution se fait de la seconde figure dans la troisième, Cesare en Datisi, Camestres en Ferison. Voir ch. 13,

§ 5. Syllogismes par l'absurde, formés dans la première figure, et venant de la seconde. Syllogisme par l'absurde en Darii : C est à tout A, A est à quelque B, mineure hypothétique ; Donc C est à quelque B.

— Mais l'on a admis que C était à tout A, dans la majeure du syllogisme ostensif, et qu'il n'était à aucun B, dans la conclusion de ce syllogisme ; syllogisme ostensif en Camestres : C est à tout A, C n'est à aucun B; Donc A n'est à aucun Β, contradictoire vraie de la mineure du syllogisme par l'absurde.

§ 6. Syllogisme par l'absurde dans la première figure en Barbara, et venant de la seconde en Baroco. Syllogisme par l'absurde : C est à tout A, A est à tout B ; Donc C est à tout B. Syllogisme ostensif : C est à tout A, C n'est pas à quelque B ; Donc A n'est pas à quelque B, contradic-toire de la mineure hypothétique.

§ 7. Si l'on fait CA privatif, c'est-a-dire, la majeure, Ferio, Celarent : syllogisme par l'absurde en Ferio : C n'est à aucun A, A est à quelque B ; Donc C n'est pas à quelque B; venant de l'ostensif en Cesare : C n'est à aucun A, C est à tout B; Donc A n'est à aucun Β, contradictoire de la mineure hypothétique. Par l'absurde, en Celarent : C n'est à aucun A, A est à tout B ; Donc C n'est à aucun Β, venant de l'ostensif en Festino : C n'est à aucun A, C est à quelque B ; Donc A n'est pas à quelque B, contradictoire de la mineure hypothétique.

§ 8. Que A est à quelque B, c'est-à-dire, la proposition particulière affirmative. Il n'est point question de l'universelle affirmative qui ne peut être prouvée par réduction à l'absurde dans la première figure, comme on l'a vu précédemment, ch. 11, § 2.

§ 9. Si l'on a admis que B ou A est à quelque C, B étant à quelque C, c'est la mineure en Datisi : A étant à quelque C, c'est la majeure en Disamis; tes autres éléments sont empruntés au syllogisme précédent. Il y a donc ici deux syllogismes par l'absurde, dans la seconde figure, destinés l'un et l'autre à prouver la particulière affirmative dans la troisième. Premier syllogisme en Ferio : A n'est à aucun Β, B est à quelque C ; Donc A n'est à aucun C, venant de l'ostensif en Datisi: A est à tout C, B est à quelque C ; Donc A est à quelque B, contradictoire de la majeure hypothétique. Second syllogisme par l'absurde en Celarent : A n'est à aucun Β, B est a tout C; Donc A n'est à aucun C, venant de l'ostensif en Disamis : A est à quelque C, B est à tout C; Donc A est à quelque B, contradictoire de la majeure hypothétique.

§ 10. Examen des syllogismes par l'absurde de la seconde figure.

— Syllogisme en Baroco, prouvant par l'absurde l'universelle affirmative: A est à tout C, A n'est pas à quelque B; Donc C n'est pas à quelque B, venant de l'ostensif : A est à tout C, C est à tout B; Donc A est à tout B, contradictoire de la mineure hypothétique.

§ 11. Que A est à quelque B, C'est-à-dire, la particulière affirmative. Syllogisme par l'absurde en Camestres : A est à tout C, A n'est à aucun B; Donc C n'est à aucun B, venant de l'ostensif en Darii : A est à tout C, C est à quelque B; Donc A est à quelque B, contradictoire de la mineure hypothétique et fausse par conséquent.

§ 12. Examen des modes négatifs, Celarent, Ferio.

— Syllogisme par l'absurde en Festino prouvant, par sa mineure fausse, la conclusion universelle négative : A n'est à aucun C, A est à quelque B; Donc C n'est pas à quelque B; et venant de l'ostensif en Celarent : A n'est à aucun C, C est à tout B; Donc A n'est à aucun B, contradictoire de la mineure hypothétique , qui est fausse alors de toute évidence.

§ 13. Si le syllogisme n'est pas universel, c'est-à-dire, si la conclusion de l'ostensif est particulière négative, Ferio; syllogisme par l'absurde en Cesare, prouvant par sa mineure fausse la particulière négative : A n'est à aucun C, A est à tout B; Donc C n'est à aucun B ; et venant de l'ostensif en Ferio : A n'est à aucun G, G est à quelque B; Donc A n'est pas à quelque B, contradictoire de la mineure hypothétique.

§ 14. Examen des modes de la troisième figure.

— Syllogismes par l'absurde en Brocardo, prouvant la conclusion universelle affirmative, par sa majeure fausse : A n'est pas à quelque B, C est à tout B; Donc A n'est pas à quelque C ; et venant de l'ostensif en Barbara : A est à tout C, C est à tout B; Donc A est à tout B, contradictoire de la majeure hypothétique.

§ 15. Syllogisme par l'absurde en Ferison, prouvant la particulière affirmative par sa majeure fausse: A n'est à aucun B, G est à quelque B; Donc A n'est pas à quelque C ; et venant de l'ostensif en Darii : A est à tout C, C est a quelque B; Donc A est quelque B, contradictoire de la majeure hypothétique.

§ 16. Quand le syllogisme est privatif, sous-entendu : et universel, c'est-à-dire, la conclusion universelle négative ; syllogisme en Disamis, prouvant cette conclusion par sa majeure fausse : A est à quelque B, C est à tout B; Donc A est à quelque C; et venant de l'ostensif en Cesare: C n'est à aucun A, C est à tout B; Donc A n'est à aucun B, contradictoire de la majeure hypothétique. On pourrait prendre aussi Celarent au lieu de Cesare.

§ 17. Si la conclusion n'est pas universelle, c'est-à-dire, la particulière négative; syllogisme par l'absurde en Datisi, prouvant cette conclusion par a majeure fausse : A est à tout B, C est à quelque B; Donc A est à quelque C ; et venant de l'ostensif en Festino : C n'est à aucun A, C est à quelque B ; Donc A n'est pas à quelque B, contradictoire de la majeure hypothétique. On pourrait prendre aussi Ferio an lieu de Festino.

§ 18. Les termes restent les mêmes dans les deux espèces de syllogisme, quand on passe, des syllogismes par l'absurde, aux syllogismes ostensifs qui leur répondent.

§ 19. On peut de même passer, des syllogismes ostensifs, aux syllogismes par l'absurde, en prenant la contradictoire de la conclusion.

— Que donne la conversion, des syllogismes exposes dans ce livre, ch. 8, 9 et 10. 8

§ 20. Rapport général de la démonstration syllogistique par l'absurde , et de la démonstration ostensive. 

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