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CHAPITRE XIII.

Réduction à l'absurde. — Troisième figure. — De la conclusion universelle affirmative. — De la conclusion particulière affirmative. — De la conclusion universelle négative. — De la conclusion particulière négative.

Règles générales applicables aux trois figures : Il faut toujours prendre la contradictoire et non la contraire.

 1 Ὁμοίως δὲ καὶ διὰ τοῦ ἐσχάτου. Κείσθω γὰρ τὸ Α τινὶ τῷ Β μὴ ὑπάρχειν, τὸ δὲ Γ παντί· τὸ ἄρα Α τινὶ τῷ Γ οὐχ ὑπάρχει. Εἰ οὖν τοῦτ´ ἀδύνατον, ψεῦδος τὸ τινὶ μὴ ὑπάρχειν, ὥστ´ ἀληθὲς τὸ παντί. 2 Ἐὰν δ´ ὑποτεθῇ μηδενὶ ὑπάρχειν, συλλογισμὸς μὲν ἔσται καὶ τὸ ἀδύνατον, οὐ δείκνυται δὲ τὸ προτεθέν· ἐὰν γὰρ τὸ ἐναντίον ὑποτεθῇ, ταὐτ´ ἔσται ἅπερ ἐπὶ τῶν πρότερον.  3 Ἀλλὰ πρὸς τὸ τινὶ ὑπάρχειν αὕτη ληπτέα ἡ ὑπόθεσις. Εἰ γὰρ τὸ Α μηδενὶ τῷ Β, τὸ δὲ Γ τινὶ τῷ Β, τὸ Α οὐ παντὶ τῷ Γ. Εἰ οὖν τοῦτο ψεῦδος, ἀληθὲς τὸ Α τινὶ τῷ Β ὑπάρχειν. 4 Ὅτι δ´ οὐδενὶ τῷ Β ὑπάρχει τὸ Α, ὑποκείσθω τινὶ ὑπάρχειν, εἰλήφθω δὲ καὶ τὸ Γ παντὶ τῷ Β ὑπάρχον. Οὐκοῦν ἀνάγκη τῷ Γ τινὶ τὸ Α ὑπάρχειν. Ἀλλ´ οὐδενὶ ὑπῆρχεν, ὥστε ψεῦδος τὸ τινὶ τῷ Β ὑπάρχειν τὸ Α. 5 Ἐὰν δ´ ὑποτεθῇ παντὶ τῷ Β ὑπάρχειν τὸ Α, οὐ δείκνυται τὸ προτεθέν, 6 ἀλλὰ πρὸς τὸ μὴ παντὶ ὑπάρχειν αὕτη ληπτέα ἡ ὑπόθεσις. Εἰ γὰρ τὸ Α παντὶ τῷ Β καὶ τὸ Γ παντὶ τῷ Β, τὸ Α ὑπάρχει τινὶ τῷ Γ. Τοῦτο δὲ οὐκ ἦν, ὥστε ψεῦδος τὸ παντὶ ὑπάρχειν. Εἰ δ´ οὕτως, ἀληθὲς τὸ μὴ παντί. 7 Ἐὰν δ´ ὑποτεθῇ τινὶ ὑπάρχειν, ταὐτ´ ἔσται ἃ καὶ ἐπὶ τῶν προειρημένων.

8 Φανερὸν οὖν ὅτι ἐν ἅπασι τοῖς διὰ τοῦ ἀδυνάτου συλλογισμοῖς τὸ ἀντικείμενον ὑποθετέον. Δῆλον δὲ καὶ ὅτι ἐν τῷ μέσῳ σχήματι δείκνυταί πως τὸ καταφατικὸν καὶ ἐν τῷ ἐσχάτῳ τὸ καθόλου.  

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1 Et de même aussi par la dernière. Soit, en effet, supposé que A n'est pas à quelque B, et que C est à tout B; donc, A ne sera pas à quelque C. Mais si cela est impossible, il sera faux qu'il n'est pas à quelque C; donc il est vrai qu'il est à tout. 2 Si l'on suppose que A n'est à aucun B, il y aura syllogisme, et l'impossibilité sera prouvée. Mais l'objet en question ne l'est pas; car si l'on suppose la proposition contraire, ce sera le même résultat que dans les cas qui précèdent. 3  Il faut prendre cette dernière supposition elle-même, si l'on veut conclure l'affirmative particulière; car si A n'est à aucun Β, et que C soit à quelque Β, A n'est pas à tout C. Si donc cela est faux, il est vrai que A est à quelque B.  4 Lorsque A n'est à aucun Β, si l'on suppose qu'il est à quelque B, et qu'on ajoute que C est à tout B, il y a nécessité que A soit à quelque C. Mais il n'était à aucun C; donc, il est faux que A soit à quelque B. 5 Si l'on suppose que A est à tout B, la question n'est pas démontrée. 6 Pour conclure que l'objet n'est pas à tout, il faut prendre cette supposition même qu'il est à tout. Ainsi A étant à tout B, et C à quelque B, A est à quelque C. Mais il n'en était pas ainsi ; donc, il est faux qu'il soit à tout ; et, par suite, il est vrai qu'il n'est pas à tout. 7 Si l'on suppose qu'il est à quelque, ce sera la même démonstration que dans les cas précédents.

8 Il est donc évident que, dans tous les syllogismes par l'absurde, c'est la contradictoire qu'il faut supposer. 9 Il est clair aussi que, dans la figure moyenne, l'affirmatif est prouvé d'une certaine manière ; et que l'universel l'est dans la dernière.

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Ce chapitre se compose de deux parties, du § 1 an g 8 exclusivement, ce sont les règles de la preuve par réduction a l'absurde dans la troisième figure. Les § 8 et 9 présentent des remarques générales.

§ 1 De même aussi, sous-entendu : toutes les espèces de conclusions sont démontrées.

— Soit en effet supposé, démonstration de l'universelle affirmative par sa contradictoire prise pour majeure en Bro-cardo : A n'est pas à quelque B : C est à tout B ; Donc A n'est pas à quelque C, conclusion absurde ; donc la majeure est fausse ; donc A est à tout B.

§ 2. Si l'on prend la contraire au lieu de la contradictoire, on arrivera bien à l'absurde en Felapton, mais la première conclusion ne sera pas prouvée, parce que les contraires peuvent être fausses à la fois : A n'est à aucun Β : C est à tout Β ; Donc A n'est pas à quelque C, conclusion absurde qui indique que la majeure hypothétique est fausse : mais de ce qu'il est faux que A n'est à aucun B, il ne s'ensuit pas qu'il soit à tout; or c'est ce qu'il fallait démontrer.

— Les cas qui précédent, ch. 12, § 2 et 4.

§ 3. Démonstration de la particulière affirmative.

— Cette dernière supposition, celle du § 2, que A n'est à aucun B.

— Syllogisme en Ferison: A n'est à aucun B: C est à quelque B; Donc A n'est pas à quelque C, conclusion absurde; donc la majeure est fausse ; donc sa contradictoire est vraie ; donc A est à quelque C.

§ 4. Démonstration de l'universelle négative par sa contradictoire en Disamis : A est à quelque B : C est à tout B ; Donc A est à quelque C ; conclusion absurde ; donc la majeure hypothétique est fausse, et sa contradictoire est vraie; donc A n'est à aucun B.

§ 5. Par la contraire, au lieu de la contradictoire, on ne démontre pas l'universelle négative, on obtient seulement une contraire qui peut être fausse comme elle en Darapti : A est à tout B : C est à tout B ; Donc A est à quelque C, conclusion fausse : donc la majeure est fausse. Mais de ce qu'il est faux que A soit à tout B, il ne s'ensuit pas qu'il ne soit à aucun.

§ 6. Démonstration de la particulière négative par sa contradictoire, majeure en Datisi : A est à tout B : C est à quelque B ; Donc A est à quelque C, conclusion absurde ; donc la majeure hypothétique est fausse et sa contradictoire est vraie ; donc A n'est pas à quelque B.

§ 7. Cette démonstration peut avoir lieu par la contraire, majeure en Disamis ; A est à quelque B : C est à tout B; Donc A est à quelque C, conclusion absurde; donc la majeure hypothétique est fausse. Mais de ce qu'il est faux que A soit à quelque B, il n'est pas démontré qu'il ne soit pas à quelque autre B.

§ 8. Résumé général pour les trois figures. C'est toujours la contradictoire, et non la contraire, qu'il faut prendre dans l'hypothèse qu'on fait pour réduire à l'absurde.

§ 9. L'affirmatif, soit universel, soit particulier, est prouvé par la seconde figure, bien que cette figure n'ait que des conclusions négatives : l'universel, soit affirmatif, soit négatif , est prouvé par la troisième, bien qu'elle n'ait que des conclusions particulières.

— D'une certaine manière, c'est-à-dire , par réduction à l'absurde.

— Les commentateurs ont remarqué avec raison qu'Aristote n'avait indiqué que les principaux modes pour la réduction à l'absurde, et qu'il avait omis les autres comme moins importants. Voici la règle générale : on peut réduire à l'absurde par le mode où se trouve, soit dans la majeure, soit dans la mineure, la contradictoire de la proposition qu'on veut ainsi démontrer. Soit par exemple à démontrer la particulière négative Ο ; on le pourra dans tous les modes où l'on trouvera la proposition contradictoire, c'est-à-dire, l'universelle affirmative A. Ainsi Ο sera démontré par réduction à l'absurde dans Barbara, majeure et mineure : dans Celarent mineure, Darii majeure, etc. : en somme dans onze modes; I dans sept; E dans six; enfin A dans deux seulement 

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