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CHAPITRE XII.

Réduction à l'absurde. — Seconde figure. — De la conclusion universelle affirmative. — De la conclusion particulière affirmative. - De la conclusion universelle négative  — De la conclusion particulière négative. — Remarques applicables à toutes les conclusions dans la seconde figure.

1  Ἐν δὲ τῷ μέσῳ καὶ τῷ ἐσχάτῳ καὶ τοῦτο δείκνυται. Κείσθω γὰρ τὸ Α μὴ παντ τῷ Β ὑπάρχειν, εἰλήφθω δὲ τῷ Γ παντὶ ὑπάρχειν τὸ Α. Οὐκοῦν εἰ τῷ μὲν Β μὴ παντί, τῷ δὲ Γ παντί, οὐ παντ τῷ Β τὸ Γ. Τοῦτο δ´ ἀδύνατον· ἔστω γὰρ φανερὸν ὅτι παντ τῷ Β ὑπάρχει τὸ Γ, ὥστε ψεῦδος τὸ ὑποκείμενον. Ἀληθὲς ἄρα τὸ παντὶ ὑπάρχειν. 2 Ἐὰν δὲ τὸ ἐναντίον ὑποτεθῇ, συλλογισμὸς μὲν ἔσται καὶ τὸ ὀδύνατον, οὐ μὴν δείκνυται τὸ προτεθέν. Εἰ γὰρ τὸ Α μηδενὶ τῷ Β, τῷ δὲ Γ παντί, οὐδεν τῷ Β τὸ Γ. Τοῦτο δ´ ἀδύνατον, ὥστε ψεῦδος τὸ μηδενὶ ὑπάρχειν. Ἀλλ´ οὐκ εἰ τοῦτο ψεῦδος, τὸ παντὶ ἀληθές. 3 Ὅτι δὲ τινὶ τῷ Β ὑπάρχει τὸ Α, ὑποκείσθω τὸ Α μηδενὶ τῷ Β ὑπάρχειν, τῷ δὲ Γ παντὶ ὑπαρχέτω. Ἀνάγκη οὖν τὸ Γ μηδενὶ τῷ Β. Ὥστ´ εἰ τοῦτ´ ἀδύνατον, ἀνάγκη τὸ Α τινὶ τῷ Β ὑπάρχειν. 4 Ἐὰν δ´ ὑποτεθῇ τινὶ μὴ ὑπάρχειν, ταὐτ´ ἔσται ἅπερ ἐπὶ τοῦ πρώτου σχήματος. 5 Πάλιν ὑποκείσθω τὸ Α τινὶ τῷ Β ὑπάρχειν, τῷ δὲ Γ μηδενὶ ὑπαρχέτω. Ἀνάγκη οὖν τὸ Γ τινὶ τῷ Β μὴ ὑπάρχειν. Ἀλλὰ παντὶ ὑπῆρχεν, ὥστε ψεῦδος τὸ ὑποτεθέν· οὐδενὶ ἄρα τῷ Β τὸ Α ὑπάρξει. Ὅτι δ´ οὐ παντὶ τὸ Α τῷ Β, ὑποκείσθω παντὶ ὑπάρχειν, τῷ  [63] δὲ Γ μηδενί. Ἀνάγκη οὖν τὸ Γ μηδενὶ τῷ Β ὑπάρχειν. Τοῦτο δ´ ἀδύνατον, ὥστ´ ἀληθὲς τὸ μὴ παντὶ ὑπάρχειν. 7 Φανερὸν οὖν ὅτι πάντες οἱ συλλογισμοὶ γίνονται διὰ τοῦ μέσου σχήματος.  

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1 Dans la figure moyenne et dans la dernière, on peut démontrer même l'universelle affirmative. Supposons, en effet, que A n'est pas à tout B, et qu'il est à tout C. Si donc il n'est pas à tout B et qu'il soit à tout C, C ne sera pas à tout B. Mais cela est impossible, en supposant qu'il est évident que C est à tout B ; donc, la supposition était fausse; donc, il est vrai qu'il est à tout. 2 Si l'on suppose la proposition contraire, il y aura bien syllogisme, et l'impossibilité sera démontrée; mais la chose en question ne l'est pas ; car si A n'est à aucun Β, et s'il est à tout C, C ne sera à aucun B. Mais cela est impossible; donc, il est faux qu'il ne soit à aucun. Mais si cela est faux, il n'est pas vrai pour cela qu'il soit à tout. 3 Lorsque A est à quelque B, supposons qu'il ne soit à aucun B et qu'il soit à tout C ; alors il y a nécessité que C ne soit à aucun B. Si donc cela est impossible, il faut nécessairement que A soit à quelque B. 4 Si l'on suppose qu'il n'est pas à quelque B, ce sera le même résultat que dans la première figure.  5 Supposons encore que A soit à quelque B, et qu'il ne soit à aucun C, alors il y a nécessité que C ne soit pas à quelque B. Mais on le supposait à tout C; donc la supposition est fausse; et A ne sera à aucun B. 6 A n'étant pas à tout B, supposons qu'il soit à tout, et qu'il ne soit à aucun C, il y a nécessité alors que C ne soit à aucun B. Mais cela est impossible ; donc, il est vrai qu'il n'est pas à tout B. 7 En résumé, l'on voit que tous les syllogismes s'obtiennent dans la figure moyenne.

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§ 1. Dans la seconde figure, on peut démontrer, par réduction à l'absurde , toutes les espèces de propositions. Et d'abord l'universelle affirmative. Soit en effet prouvé par un syllogisme en Barbara, que A est à tout B. En prenant sa contradictoire pour majeure, on a en Baroco de la seconde figure : A est a tout C, A n'est pas à tout B; Donc C n'est pas à tout Β, conclusion absurde, parce qu'on a admis, comme évidente, cette proposition : C est à tout B; donc la conclusion étant absurde, il faut que la mineure le soit, puisque la majeure est prise pour vraie; donc A est à tout B; et la proposition universelle affirmative est prouvée par réduction à l'absurde, dans la seconde figure, Barbara par Baroco.

§ 2. Si l'on prend la proposition contraire au lieu de la contradictoire, ou réduira bien à l'absurde ; mais la première conclusion ne sera pas démontrée, parce qu'on obtiendra une universelle négative pour conclusion nouvelle, et que les deux contraires peuvent être fausses à la fois. Le syllogisme se forme en Camestres : A est à toute, A n'est à aucun B ; Donc C n'est a aucun Β, conclusion absurde. Mais, de ce qu'il est faux que C ne soit à aucun Β, il ne s'ensuit pas du tout qu'il soit à tout B; et c'est ce qui était à démontrer.

§ 3. Démonstration de la particulière affirmative ; syllogisme eu Camestres : A est à tout C, A n'est à aucun B; Donc C n'est à aucun B, conclusion absurde; donc la contra-dictoire de la mineure particulière affirmative est vraie; donc A est à quelque B.

§ 4. La démonstration de la particulière affirmative n'a pas lieu, si l'on prend sa contraire particulière négative pour mineure en Baroco : A est à tout C: A n'est pas à tout B; Donc C n'est pas à quelque B, conclusion absurde, mais qui n'établit pas du tout la vérité de sa contraire, parce que les contraires peuvent être fausses toutes deux à la fois.

— Même résultat, ch. 11, § 21.

§ 5. Démonstration de l'universelle négative, syllogisme en Festino: A n'est à aucun C: A est à quelque B; Donc C n'est pas à quelques, conclusion absurde, parce qu'on avait admis d'abord : C est à tout B ; donc la mineure hypothétique est fausse; Donc A n'est à aucun B; et l'universelle négative est démontrée par réduction à l'absurde dans m seconde figure.

§ 6. Démonstration de la particulière négative : syllogisme en Cesare: A n'est à aucun C : A est à tout B; Donc C n'est à aucun B, conclusion absurde ; donc la contradictoire de la mineure hypothétique est vraie; donc A n'est pas à tout B, ou n'est pas à quelque B.

§ 7. Tous les syllogismes, syllogismes pour conclusions.

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