Ch. XI, 1. L'infini par addition, pour bien comprendre ce passage, il faut se reporter au ch. 8, § 10, l'on a expliqué ce que signifient l'infini par addition, et l'infini par division. Aristote suppose une grandeur quelconque divisée d'abord en deux parties égales; on divise de nouveau en deux l'une des moitiés ; ce qui donne le quart ; et l'on ajoute ce quart à l'autre moitié qui devient alors trois quarts. Puis on divise le quart restant en deux; ce qui donne un huitième qu'on ajoute aux trois quarts; et l'on procède indéfiniment ainsi. On a donc deux séries, l'une, qui croît sans cesse, mais qui a une limite dans la grandeur initiale qu'elle cherche à égaler et qu'elle ne peut égaler jamais; l'autre, qui décroît à l'infini, sans qu'il y ait jamais de terme possible à la division, puisque la proportion reste indéfiniment identique, et qu'elle est, comme pour cet exemple, dans le rapport de deux à un.

 - De manière à surpasser toute la grandeur, il serait plus exact de dire, d'après les explications qui précèdent : « De manière à dépasser jamais la grandeur initiale.»

- Semble pouvoir exister par division, en effet la division, et c'est ici la dichotomie, n'a pas de ternie assignable, tandis que l'autre infini par addition a un terme, qui est la grandeur primitivement donnée et successivement divisée en deux.

- À l'intérieur de l'être, l'expression est métaphorique, et elle veut dire simplement que l'infini par addition reste indéterminé comme la matière, qui est indéterminée en tant que privation et n'est déterminée que par la forme.

- Et c'est la forme qui contient, en ce qu'elle détermine et achève la matière.

§ 2. Dans le sens de l'extrême petitesse, parce qu'Aristote, comme tous les mathématiciens de son temps, à ce qu'il semble, s'arrête à l'unité, qu'il croit indivisible, et ne va pas jusqu'aux fractions, où il aurait retrouvé l'infini eu petitesse tout aussi bien qu'il le trouve dans la série illimitée des nombres qui s'accroissent. Cette théorie du philosophe est d'autant plus étonnante que la distinction qu'il a faite entre l'infini par addition, et l'infini par division, le menait directement à l'idée des fractions.

 - Dépasser un nombre quelque grand qu'il soit, ceci est vrai; mais ce n'est pas moins applicable dans la série descendante, et l'on peut toujours dépasser un nombre, quelque petit qu'il soit, en en supposant un plus petit encore, sans qu'il y ait plus de limite en bas qu'en haut.

- Pour les grandeurs, voir l'exemple cité plus haut, ch. 8 § 10.

- Il n'est pas possible qu'il y ait de grandeur infinie, c'est-à-dire que l'une des moitiés du tout initial a beau s'accroître, elle n'arrive jamais à égaler le tout.

§ 3. Cette différence, le texte n'est pas tout à fait aussi précis.

- L'unité est indivisible, l'unité substantielle est en effet indivisible, et le mot même d'Individu le dit assez; mais l'unité numérique ne l'est pas, et la série de ses fractions est infinie tout aussi bien que la série de ses additions successives, c'est-à-dire la série des nombres, qui ne sont que des unités Indéfiniment accumulées. Ceci semble contredire le reproche fait un peu plus haut à Platon; voir plus haut, ch. 8, § 13.

- L'homme n'est jamais qu'un homme, c'est exact pour cette unité; ce ne l'est pas autant pour l'unité numérique.

- De s'arrêter à l'individu, sans doute; mais l'unité numérique peut encore se diviser non plus en unités, mais en fractions.

- Dérivées et paronymes, le premier mot est la traduction de l'autre; il n'y en a qu'un seul dans le texte, et c'est le second, Voir les Catégories, ch. 1, § 3, p. 54 de ma traduction. Les nombres ne sont que des multiplications successives de l'unité, qui les forme, en se joignant continuellement à elle-même.

§ 4. De penser un nombre plus grand, il semble qu'il est tout aussi possible de toujours penser un nombre plus petit; mais Aristote s'arrête à l'unité.

- Les divisions de la grandeur en deux, le mot du texte est Dichotomies, que j'ai évité, parce qu'il n'est pas assez clair dans notre langue. Voir plus haut, ch. 8, § 10.

- Indéfiniment, j'ai ajouté ce mot.

- Toujours en puissance et jamais en acte, c'est-à-dire qu'on peut pousser la division aussi loin qu'on le voudra, sans jamais atteindre au terme.

- La quantité nouvelle qu'on imagine, le texte n'est pas aussi formel.

- Dépasse toujours, en petitesse, puisque la division devient toujours de plus en plus petite.

- Ce nombre n'est pas indépendant et séparé, c'est-à-dire n'est pas abstrait comme celui des mathématiques, et il ne s'accroît qu'avec les dichotomies successives. C'est qu'ici, comme plus haut, Aristote semble ne pas connaître les fractions.

- Devient et se forme, il n'y a que le premier mot dans le texte; mais j'ai craint en le laissant seul qu'il ne fût pas assez clair dans entre langue.

§ 5. C'est tout l’opposé pour les grandeurs, voir plus haut § 2, où cette idée est déjà exprimée.

- Dans le sens de l'accroissement, parce qu'Aristote suppose qu'Il y a une limite dont on peut s'approcher autant que l'on veut, mais que l'on n'atteint jamais. Voir plus haut, ch. 8, § 10.

- Aucune grandeur sensible n'est infinie, voir plus haut le ch. 7 consacré tout entier à cette démonstration.

 - Toute grandeur déterminée, voir plus haut, § 2.

- Plus grand que le ciel, ou l'univers. Mais le ciel n'est pas une grandeur déterminée, et il se confond avec l'infini lui-même, du moins sous le rapport de l'espace.

§ 6. Pour la grandeur, dans laquelle sans doute Aristote comprend le nombre; peut- être eût-il mieux valu dire la Quantité, au lieu de la Grandeur.

- Mais l'infini postérieur, cette expression est assez singulière ; mais la suite du contexte l'explique suffisamment. Le temps se comprend par le mouvement, et le mouvement lui-même ne se comprend que par la grandeur. Il y a mouvement, de translation, puisqu'on parle ensuite de mouvement d'altération, de mouvement de croissance ; voir les Catégories, ch. 14, p. 128 de ma traduction.

- Etc., j'ai ajouté cet Et caetera.

- Le temps ne se comprend que par le mouvement, peut-être la psychologie peut-elle donner une explication plus profonde de la notion du temps; et nous l'acquérons d'abord par la conscience même de notre propre durée substantielle; mais là aussi on peut dire encore qu'il y a mouvement.

§ 7. Plus tard, dans le Livre IV, il sera traité de l'espace et du temps; dans le Livre V et dans les suivants, il sera traité tout au long du mouvement.

- Chacune de ces choses, grandeur, mouvement, temps, espace.

- Toute grandeur est divisible, voir Livre VI, ch. 4.

§ 8. Notre définition de l'infini, l'expression du texte n'est pas aussi développée ni aussi précise.

- Sous le rapport de l'accroissement, voir plus haut, ch. 8, § 10, et tout le chapitre 7.

- Tout à fait irréalisable en acte, parce qu'il ne peut pas y avoir de corps sensible

- N'ont pas besoin de l'infini, cette assertion n'est peut-être pas fort exacte, aujourd'hui qu'une partie considérable des mathématiques est consacrée à la théorie de l'infini; mais, du temps d'Aristote, la chose était plus vraie; et, maintenant même, la plupart du temps les mathématiques n'emploient la notion d'infini que comme il le dit. - Diviser indéfiniment, j'ai ajouté ce dernier mot.

- Aussi petite que l'on voudra, le texte n'est pas tout à fait aussi formel.

- N'importe en rien, c'est peut-être trop dire.

- Au sens où on l'a dit, j'ai ajouté cette idée qui est implicitement com­prise dans la tournure du contexte. Voir plus haut, ch. 8, § 10.

§§ 9, 10 et 11. Je n'ai pas cru devoir faire un chapitre à part de ces trois §§. Il semble qu'ils font une suite très convenable à tout ce qui précède.

- Les quatre causes admises par nous, voir plus haut, Livre II, ch. 3, et la Métaphysique, Livre I, ch. I, p. 983, édit, de Berlin.

 - N'est cause que comme matière, l'infini fait partir des causes matérielles. - Son être, c'est la privation, voir plus haut, Livre 1, ch. 8.

- Ce qui est et subsiste, il n'y a qu'un seul mot dans le texte.

- Ainsi que nous, le texte est moins formel.

- Le contenant et non pas le contenu, voir plus haut, ch. 9, § 1 ; quoi qu'il en soit, il parait beaucoup plus naturel de considérer l'infini comme contenant plus que comme contenu. Mais la théorie d'Aristote n'en est pas moins conséquente, si elle n'est pas d'ailleurs parfaitement exacte.