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CHAPITRE XXV

Du nombre des termes, des propositions, et des conclusions, dans les Syllogismes.

1 Δῆλον δὲ καὶ ὅτι πᾶσα ἀπόδειξις ἔσται διὰ τριῶν ὅρων καὶ οὐ πλειόνων, 2 ἐὰν μὴ δι´ ἄλλων καὶ ἄλλων τὸ αὐτὸ συμπέρασμα γίνηται, οἷον τὸ Ε διά τε τῶν Α Β καὶ διὰ τῶν Γ Δ, ἢ διὰ τῶν Α Β καὶ Α Γ Δ· πλείω γὰρ μέσα τῶν αὐτῶν οὐδὲν εἶναι κωλύει. Τούτων δ´ ὄντων οὐχ εἷς ἀλλὰ  [42a] πλείους εἰσὶν οἱ συλλογισμοί. 3 Ἢ πάλιν ὅταν ἑκάτερον τῶν Α Β διὰ συλλογισμοῦ ληφθῇ (οἷον τὸ Α διὰ τῶν Δ Ε καὶ πάλιν τὸ Β διὰ τῶν Ζ Θ), ἢ τὸ μὲν ἐπαγωγῇ, τὸ δὲ συλλογισμῷ. Ἀλλὰ καὶ οὕτως πλείους οἱ συλλογισμοί· πλείω γὰρ τὰ συμπεράσματα ἐστιν, οἷον τό τε Α καὶ τὸ Β καὶ τὸ Γ. 4 Εἰ δ´ οὖν μὴ πλείους ἀλλ´ εἷς, οὕτω μὲν ἐνδέχεται γενέσθαι διὰ πλειόνων τὸ αὐτὸ συμπέρασμα, 5 ὡς δὲ τὸ Γ διὰ τῶν Α Β, ἀδύνατον. Ἔστω γὰρ τὸ Ε συμπεπερασμένον ἐκ τῶν Α Β Γ Δ. Οὐκοῦν ἀνάγκη τι αὐτῶν ἄλλο πρὸς ἄλλο εἰλῆφθαι, τὸ μὲν ὡς ὅλον τὸ δ´ ὡς μέρος· τοῦτο γὰρ δέδεικται πρότερον, ὅτι ὄντος συλλογισμοῦ ἀναγκαῖον οὕτως τινὰς ἔχειν τῶν ὅρων. Ἐχέτω οὖν τὸ Α οὕτως πρὸς τὸ Β. Ἔστιν ἄρα τι ἐξ αὐτῶν συμπέρασμα. Οὐκοῦν ἤτοι τὸ Ε ἢ τῶν Γ Δ θάτερον ἢ ἄλλο τι παρὰ ταῦτα. Καὶ εἰ μὲν τὸ Ε, ἐκ τῶν Α Β μόνον ἂν εἴη ὁ συλλογισμός. Τὰ δὲ Γ Δ εἰ μὲν ἔχει οὕτως ὥστ´ εἶναι τὸ μὲν ὡς ὅλον τὸ δ´ ὡς μέρος, ἔσται τι καὶ ἐξ ἐκείνων, καὶ ἤτοι τὸ Ε ἢ τῶν Α Β θάτερον ἢ ἄλλο τι παρὰ ταῦτα. Καὶ εἰ μὲν τὸ Ε ἢ τῶν Α Β θάτερον, ἢ πλείους ἔσονται οἱ συλλογισμοί, ἢ ὡς ἐνεδέχετο ταὐτὸ διὰ πλειόνων ὅρων περαίνεσθαι συμβαίνει· εἰ δ´ ἄλλο τι παρὰ ταῦτα, πλείους ἔσονται καὶ ἀσύναπτοι οἱ συλλογισμοὶ πρὸς ἀλλήλους. Εἰ δὲ μὴ οὕτως ἔχοι τὸ Γ πρὸς τὸ Δ ὥστε ποιεῖν συλλογισμόν, μάτην ἔσται εἰλημμένα, εἰ μὴ ἐπαγωγῆς ἢ κρύψεως ἤ τινος ἄλλου τῶν τοιούτων χάριν. Εἰ δ´ ἐκ τῶν Α Β μὴ τὸ Ε ἀλλ´ ἄλλο τι γίγνεται συμπέρασμα, ἐκ δὲ τῶν Γ Δ ἢ τούτων θάτερον ἢ ἄλλο παρὰ ταῦτα, πλείους τε οἱ συλλογισμοὶ γίνονται καὶ οὐ τοῦ ὑποκειμένου· ὑπέκειτο γὰρ εἶναι τοῦ Ε τὸν συλλογισμόν. Εἰ δὲ μὴ γίνεται ἐκ τῶν Γ Δ μηδὲν συμπέρασμα, μάτην τε εἰλῆφθαι αὐτὰ συμβαίνει καὶ μὴ τοῦ ἐξ ἀρχῆς εἶναι τὸν συλλογισμόν. Ὥστε φανερὸν ὅτι πᾶσα ἀπόδειξις καὶ πᾶς συλλογισμὸς ἔσται διὰ τριῶν ὅρων μόνον.

6 Τούτου δ´ ὄντος φανεροῦ, δῆλον ὡς καὶ ἐκ δύο προτάσεων καὶ οὐ πλειόνων (οἱ γὰρ τρεῖς ὅροι δύο προτάσεις), εἰ μὴ προσλαμβάνοιτό τι, καθάπερ ἐν τοῖς ἐξ ἀρχῆς ἐλέχθη, πρὸς τὴν τελείωσιν τῶν συλλογισμῶν.  7 φανερὸν οὖν ὡς ἐν ᾧ λόγῳ συλλογιστικῷ μὴ ἄρτιαί εἰσιν αἱ προτάσεις δι´ ὧν γίνεται τὸ συμπέρασμα τὸ κύριον (ἔνια γὰρ τῶν ἄνωθεν συμπερασμάτων ἀναγκαῖον εἶναι προτάσεις), οὗτος ὁ λόγος ἢ οὐ συλλελόγισται ἢ πλείω τῶν ἀναγκαίων ἠρώτηκε πρὸς τὴν θέσιν. [43] 8 Κατὰ μὲν οὖν τὰς κυρίας προτάσεις λαμβανομένων τῶν συλλογισμῶν, ἅπας ἔσται συλλογισμὸς ἐκ προτάσεων μὲν ἀρτίων ἐξ ὅρων δὲ περιττῶν· ἑνὶ γὰρ πλείους οἱ ὅροι τῶν προτάσεων. Ἔσται δὲ καὶ τὰ συμπεράσματα ἡμίση τῶν προτάσεων. 9 Ὅταν δὲ διὰ προσυλλογισμῶν περαίνηται ἢ διὰ πλειόνων μέσων συνεχῶν, οἷον τὸ Α Β διὰ τῶν Γ Δ, τὸ μὲν πλῆθος τῶν ὅρων ὡσαύτως ἑνὶ ὑπερέξει τὰς προτάσεις (ἢ γὰρ ἔξωθεν ἢ εἰς τὸ μέσον τεθήσεται ὁ παρεμπίπτων ὅρος· ἀμφοτέρως δὲ συμβαίνει ἑνὶ ἐλάττω εἶναι τὰ διαστήματα τῶν ὅρων), αἱ δὲ προτάσεις ἴσαι τοῖς διαστήμασιν· οὐ μέντοι αἰεὶ αἱ μὲν ἄρτιαι ἔσονται οἱ δὲ περιττοί, ἀλλ´ ἐναλλάξ, ὅταν μὲν αἱ προτάσεις ἄρτιαι, περιττοὶ οἱ ὅροι, ὅταν δ´ οἱ ὅροι ἄρτιοι, περιτταὶ αἱ προτάσεις· ἅμα γὰρ τῷ ὅρῳ μία προστίθεται πρότασις, ἂν ὁποθενοῦν προστεθῇ ὁ ὅρος, ὥστ´ ἐπεὶ αἱ μὲν ἄρτιαι οἱ δὲ περιττοὶ ἦσαν, ἀνάγκη παραλλάττειν τῆς αὐτῆς προσθέσεως γινομένης. Τὰ δὲ συμπεράσματα οὐκέτι τὴν αὐτὴν ἕξει τάξιν οὔτε πρὸς τοὺς ὅρους οὔτε πρὸς τὰς προτάσεις· ἑνὸς γὰρ ὅρου προστιθεμένου συμπεράσματα προστεθήσεται ἑνὶ ἐλάττω τῶν προϋπαρχόντων ὅρων· πρὸς μόνον γὰρ τὸν ἔσχατον οὐ ποιεῖ συμπέρασμα, πρὸς δὲ τοὺς ἄλλους πάντας, οἷον εἰ τῷ Α Β Γ πρόσκειται τὸ Δ, εὐθὺς καὶ συμπεράσματα δύο πρόσκειται, τό τε πρὸς τὸ Α καὶ τὸ πρὸς τὸ Β. Ὁμοίως δὲ κἀπὶ τῶν ἄλλων. Κἂν εἰς τὸ μέσον δὲ παρεμπίπτῃ, τὸν αὐτὸν τρόπον· πρὸς ἕνα γὰρ μόνον οὐ ποιήσει συλλογισμόν. Ὥστε πολὺ πλείω τὰ συμπεράσματα καὶ τῶν ὅρων ἔσται καὶ τῶν προτάσεων.  

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1 Il est évident aussi que toute démonstration se fait par trois termes, et pas plus; 2 ce qui n'empêche pas qu'une même conclusion ne puisse s'obtenir par des termes différents, et que E, par exemple, puisse être démontré par A B, et par C D, ou par A B, et A C, et B C; car il peut se faire qu'il y ait plusieurs moyens pour les mêmes conclusions; mais, dans ce cas, il y a, non plus un syllogisme unique, mais bien plusieurs syllogismes. 3 De même encore, si chacune des deux propositions A, B, est démontrée par syllogisme: par exemple A par D E, et B par F H; ou encore que l'une soit démontrée par induction, l'autre par syllogisme. Mais, même de cette façon, il y a plusieurs syllogismes; car il y a aussi plusieurs conclusions, qui sont A, B et C. 4 S'il n'y a qu'un seul syllogisme et non plusieurs, il se peut encore que la même conclusion s'obtienne par plus de trois termes. 5 Mais, pour démontrer C par A B, il est impossible qu'il y ait plus de trois termes. Soit E, par exemple, conclu de A B C D. Il y a donc nécessité que l'un de ces termes soit mis en rapport avec l'autre, l'un étant pris comme tout, l'autre comme partie; car on a démontré précédemment que, quand il y a syllogisme, il faut nécessairement que certains termes soient dans cette relation. Que A soit donc ainsi par rapport à B; il y a dès lors une conclusion tirée de ces termes, et elle est soit E, soit l'un des deux termes ou D, soit tout autre terme différent de ceux-là. Si c'est E, le syllogisme sera conclu des seuls termes A B. Si C D sont tels entre eux que l'un soit pris comme tout, et l'autre comme partie, on en tirera quelque conclusion; et cette conclusion sera alors ou E, ou l'un des deux termes A B, ou tel autre terme différent d'eux. Si la conclusion est, soit E, soit l'un des deux termes A B, ou il y aura plusieurs syllogismes; ou bien, comme on l'a supposé plus haut, la même conclusion se tirera de plus de trois termes ; mais si c'est un terme différent de ceux-là, il y aura plusieurs syllogismes et sans liaison entre eux. Si C n'est pas à D dans une relation telle qu'ils puissent faire un syllogisme, ces données seront inutiles, à moins qu'on ne les ait prises pour en tirer une induction, ou pour dissimuler les intentions, ou pour tel autre motif analogue. Mais si E n'est pas la conclusion tirée de A B, et qu'il y en ait une autre, et que de C D on conclue l'un de ces deux termes ou quelque autre terme différent, il y a plusieurs syllogismes qui ne se rapportent pas au sujet en question; car on avait supposé que la conclusion serait E. Si l'on ne tire aucune conclusion de C D, on les aura pris sans aucune utilité; et il n'y a point alors de syllogisme relatif à la proposition primitive. Donc, il est bien évident que toute démonstration et tout syllogisme se font par trois termes seulement.

6 De cela il résulte clairement que le syllogisme a lieu par deux propositions et pas plus; car les trois termes forment deux propositions, à moins qu'on n'y en ajoute quelque autre, comme on l'a dit antérieurement, pour compléter les syllogismes. 7 Il est donc évident que, pour un raisonnement syllogistique où les propositions qui produisent la conclusion principale ne sont pas paires, et il y a parfois nécessité que les propositions soient tirées de conclusions antécédentes, ce raisonnement, ou n'est pas syllogistique, ou bien l'on a demandé pour sa thèse plus qu'on n'avait besoin. 8 Mais les syllogismes n'étant considérés que dans leurs propositions essentielles, tout syllogisme se forme de propositions paires et de termes impairs. Les termes sont toujours un de plus que les propositions; les conclusions sont toujours la moitié des propositions. 9 Si l'on conclut, au moyen de prosyllogismes, ou par plusieurs moyens qui se tiennent; par exemple, A B par C et par D, le nombre des termes dépassera toujours de un celui des propositions. En effet, ou le terme ajouté est en dehors des extrêmes, ou il est intermédiaire; et, de toute façon, les intervalles seront un de moins que les termes. Les propositions seront toujours en même nombre que les intervalles; cependant elles ne seront pas toujours paires, ni les termes toujours impairs; il y aura alternative: quand les propositions sont paires, les termes sont impairs; quand les termes sont pairs, les propositions sont impaires. En effet, avec chaque terme ajouté, on ajoute une proposition, à quelque place qu'on pose ce nouveau terme; et, puisque, les propositions étant paires, les termes sont impairs, il est évident qu'ils doivent changer de rôle, quand on leur ajoute la même quantité. Du reste, les conclusions n'auront plus le même rapport ni avec les termes, ni avec les propositions. En ajoutant un terme, on ajoute des conclusions qui sont une de moins que les termes antérieurs : car ce n'est que pour le dernier seulement qu'il n'y aura point de conclusion; mais il y en a pour tous les autres. Par exemple, si l'on ajoute D à AB C, l'on ajoute en même temps deux conclusions, l'une relative à A, l'autre relative à B; et de même pour tous les autres qu'on ajouterait. Si l'on ajoute le terme intermédiairement, c'est encore le même rapport : car ce n'est que relativement à un seul terme qu'il ne fera pas de syllogisme; et le nombre des conclusions sera beaucoup plus grand que celui des termes et des propositions.

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§ 1. Démonstration est pris ici pour syllogisme: Voir à la fin du § 5, dans ce chapitre.

§ 2. E étant la conclusion, il se présente plusieurs cas : ou elle est démontrée par des propositions toutes différentes, AB, et CD; ou elle est démontrée par des propositions qui se suivent en s'enchaînant, AB donnant sa majeure à AC, et sa mineure BC qui prend pour majeure la mineure de AB. De toute manière, il y a plusieurs syllogismes, et chaque syllogisme n'a jamais que trois propositions.

§ 3. Il peut encore se faire que chacune des propositions du premier syllogisme ait besoin d'être elle-même démontrée par des prosyllogismes, ou bien que l'une soit démontrée par prosyllogisme et l'autre par induction. Voir liv. 2, ch. 33. - Qui sont A, B et C, A, conclusion du premier prosyllogisme, est la majeure du syllogisme principal; B, conclusion du second prosyllogisme, en est la mineure : C en est la conclusion.

§ 4. Le syllogisme est alors composé; en d'autres termes, c'est un sorite qui peut se résoudre lui-même en plusieurs syllogismes n'ayant chacun que trois termes.

§ 5. Pour démontrer C par AB, Syllogisme simple trois termes : si l'on nie qu'il ne faille que trois termes, on suppose alors qu'une conclusion quelconque, E par exemple, peut s'obtenir par quatre termes ABCD. - Démontré précédemment, ch. 23, § 4, et ch. 24, § 6. - Si c'est E, le syllogisme n'a alors que trois termes. - Et cette conclusion, le nombre des termes reste toujours le même - Comme on l'a supposé pus haut, § 4, C'est le cas du sorite. - Ces données seront inutiles, car il n'y aura pas de lien syllogistique entre ces termes. - Pour en tirer une induction, Voir les Topiques, liv.8, ch. 1, § 7 et 8. - Qui ne se rapportent pas au sujet, car le sujet est E qu'on doit nécessairement avoir dans la conclusion et qu'il s'agit de prouver. - Alexandre voudrait mettre: si l'on ne tire aucune conclusion de AB, au lieu de : CD, parce qu'on a déjà démontré pour CD, et que AB reste seul à démontrer.

§ 6. Ceci explique fort bien l'expression d'intervalles, pris pour propositions. Entre trois points donnés, entre trois termes, il n'y a que deux intervalles possibles. - Antérieurement pour compléter les syllogismes, c'est-à-dire, les propositions converties et les réductions à l'absurde. Voir dans les ch. 2, 5, 6, les règles de la conversion.

§ 7. De conclusions antécédentes, c'est-à-dire, de prosyllogismes.

§ 8. Propositions essentielles, c'est-à-dire, indispensables pour le former. Il s'agit donc ici de syllogismes simples, et au § suiv. de syllogismes composés.

§ 9. Plusieurs moyens qui se tiennent, c'est le sorite du § 4. - En dehors des extrêmes, soit avant, soit après. - Intermédiaire, placé entre les deux extrêmes, ou entre deux des extrêmes si l'on en suppose plus de deux. - Les propositions seront toujours, on ne doit donc pas confondre tout à fait intervalle et proposition. bien que l'un puisse être pris pour l'autre, comme on l'a déjà vu. - La même quantité, il est évident que deux nombres, l'un pair, l'autre impair, étant donnés, si on leur ajoute de part et d'autre l'unité, le premier de pair devient impair, et le second, à l'inverse. - Les conclusions n'auront plus le même rapport, ainsi, avec trois termes, dans le syllogisme simple, on a une seule conclusion. AB et DC propositions, AC conclusion : avec un quatrième terme D, on a trois propositions AB, BC, AD et trois conclusions AC, AD, BD; avec un cinquième terme E, quatre propositions AB, BC, CD, DE et six conclusions AC, AD, BD, AE, BE, CE; avec un sixième terme, on aurait cinq propositions et dix conclusions ; avec un septième, six prépositions et quinze conclusions; avec un huitième, sept propositions et vingt et une conclusions; avec un neuvième, huit propositions et vingt-huit conclusions : c'est-à-dire que la progression des termes étant la progression naturelle des nombres, les conclusions seraient toujours la somme de mêmes nombres. - Si l'on ajoute D à ABC, en dehors, soit avant, soit après. - Qu'il ne fera pas de syllogisme, c'est-à-dire, il n'y aura qu'un seul terme, C, avec lequel D ne formera pas de conclusion.

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