précédent

CHAPITRE V.

Démonstration circulaire. — Première figure. — Définition de la démonstration circulaire; exemple; cas où elle a lieu.— Exposition de la démonstration circulaire pour les modes de la première figure, tant les universels que les particuliers.

1 Τὸ δὲ κύκλῳ καὶ ἐξ ἀλλήλων δείκνυσθαί ἐστι τὸ διὰ τοῦ συμπεράσματος καὶ τοῦ ἀνάπαλιν τῇ κατηγορίᾳ τὴν ἑτέραν λαβόντα πρότασιν συμπεράνασθαι τὴν λοιπήν, ἣν ἐλάμβανεν ἐν θατέρῳ συλλογισμῷ. 2 Οἷον εἰ ἔδει δεῖξαι ὅτι τὸ Α τῷ Γ παντὶ ὑπάρχει, ἔδειξε δὲ διὰ τοῦ Β, πάλιν εἰ δεικνύοι ὅτι τὸ Α τῷ Β ὑπάρχει, λαβὼν τὸ μὲν Α τῷ Γ ὑπάρχειν τὸ δὲ Γ τῷ Β [καὶ τὸ Α τῷ Β]· πρότερον δ´ ἀνάπαλιν ἔλαβε τὸ Β τῷ Γ ὑπάρχον. Ἢ εἰ [ὅτι] τὸ Β τῷ Γ δεῖ δεῖξαι ὑπάρχον, εἰ λάβοι τὸ Α κατὰ τοῦ Γ, ὃ ἦν συμπέρασμα, τὸ δὲ Β κατὰ τοῦ Α ὑπάρχειν· πρότερον δ´ ἐλήφθη ἀνάπαλιν τὸ Α κατὰ τοῦ Β. 3 Ἄλλως δ´ οὐκ ἔστιν ἐξ ἀλλήλων δεῖξαι. Εἴτε γὰρ ἄλλο μέσον λήψεται, οὐ κύκλῳ· οὐδὲν γὰρ λαμβάνεται τῶν αὐτῶν· εἴτε τούτων τι, ἀνάγκη θάτερον μόνον· εἰ γὰρ ἄμφω, ταὐτὸν ἔσται συμπέρασμα, δεῖ δ´ ἕτερον. 4 Ἐν μὲν οὖν τοῖς μὴ ἀντιστρέφουσιν ἐξ ἀναποδείκτου τῆς ἑτέρας προτάσεως γίνεται ὁ συλλογισμός· οὐ γὰρ ἔστιν ἀποδεῖξαι διὰ τούτων τῶν ὅρων ὅτι τῷ μέσῳ τὸ τρίτον ὑπάρχει ἢ τῷ πρώτῳ τὸ μέσον. Ἐν δὲ τοῖς ἀντιστρέφουσιν ἔστι πάντα δεικνύναι δι´ ἀλλήλων, οἷον εἰ τὸ Α καὶ τὸ Β καὶ τὸ Γ ἀντιστρέφουσιν ἀλλήλοις. 5 Δεδείχθω γὰρ τὸ Α Γ διὰ μέσου τοῦ Β, καὶ πάλιν τὸ Α Β διά τε τοῦ συμπεράσματος καὶ διὰ τῆς Β Γ προτάσεως ἀντιστραφείσης, ὡσαύτως δὲ καὶ τὸ Β Γ διά τε τοῦ συμπεράσματος καὶ τῆς Α Β  [58a] προτάσεως ἀντεστραμμένης. Δεῖ δὲ τήν τε Γ Β καὶ τὴν Β Α πρότασιν ἀποδεῖξαι· ταύταις γὰρ ἀναποδείκτοις κεχρήμεθα μόναις. Ἐὰν οὖν ληφθῇ τὸ Β παντὶ τῷ Γ ὑπάρχειν καὶ τὸ Γ παντὶ τῷ Α, συλλογισμὸς ἔσται τοῦ Β πρὸς τὸ Α. Πάλιν ἐὰν ληφθῇ τὸ μὲν Γ παντὶ τῷ Α, τὸ δὲ Α παντὶ τῷ Β, παντὶ τῷ Β τὸ Γ ἀνάγκη ὑπάρχειν. Ἐν ἀμφοτέροις δὴ τούτοις τοῖς συλλογισμοῖς ἡ Γ Α πρότασις εἴληπται ἀναπόδεικτος· αἱ γὰρ ἕτεραι δεδειγμέναι ἦσαν. Ὥστ´ ἂν ταύτην ἀποδείξωμεν, ἅπασαι ἔσονται δεδειγμέναι δι´ ἀλλήλων. Ἐὰν οὖν ληφθῇ τὸ Γ παντὶ τῷ Β καὶ τὸ Β παντὶ τῷ Α ὑπάρχειν, ἀμφότεραί τε αἱ προτάσεις ἀποδεδειγμέναι λαμβάνονται, καὶ τὸ Γ τῷ Α ἀνάγκη ὑπάρχειν. 6 Φανερὸν οὖν ὅτι ἐν μόνοις τοῖς ἀντιστρέφουσι κύκλῳ καὶ δι´ ἀλλήλων ἐνδέχεται γίνεσθαι τὰς ἀποδείξεις, ἐν δὲ τοῖς ἄλλοις ὡς πρότερον εἴπομεν.  7 Συμβαίνει δὲ καὶ ἐν τούτοις αὐτῷ τῷ δεικνυμένῳ χρῆσθαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν· τὸ μὲν γὰρ Γ κατὰ τοῦ Β καὶ τὸ Β κατὰ τοῦ Α δείκνυται ληφθέντος τοῦ Γ κατὰ τοῦ Α λέγεσθαι, τὸ δὲ Γ κατὰ τοῦ Α διὰ τούτων δείκνυται τῶν προτάσεων, ὥστε τῷ συμπεράσματι χρώμεθα πρὸς τὴν ἀπόδειξιν.

8 Ἐπὶ δὲ τῶν στερητικῶν συλλογισμῶν ὧδε δείκνυται ἐξ ἀλλήλων. Ἔστω τὸ μὲν Β παντὶ τῷ Γ ὑπάρχειν, τὸ δὲ Α οὐδενὶ τῷ Β· συμπέρασμα ὅτι τὸ Α οὐδενὶ τῷ Γ. Εἰ δὴ πάλιν δεῖ συμπεράνασθαι ὅτι τὸ Α οὐδενὶ τῷ Β, ὃ πάλαι ἔλαβεν, ἔστω τὸ μὲν Α μηδενὶ τῷ Γ, τὸ δὲ Γ παντὶ τῷ Β· οὕτω γὰρ ἀνάπαλιν ἡ πρότασις. 9 Εἰ δ´ ὅτι τὸ Β τῷ Γ δεῖ συμπεράνασθαι, οὐκέθ´ ὁμοίως ἀντιστρεπτέον τὸ Α Β (ἡ γὰρ αὐτὴ πρότασις, τὸ Β μηδενὶ τῷ Α καὶ τὸ Α μηδενὶ τῷ Β ὑπάρχειν), ἀλλὰ ληπτέον, ᾧ τὸ Α μηδενὶ ὑπάρχει, τὸ Β παντὶ ὑπάρχειν. 10 Ἔστω τὸ Α μηδενὶ τῷ Γ ὑπάρχειν, ὅπερ ἦν τὸ συμπέρασμα· ᾧ δὲ τὸ Α μηδενί, τὸ Β εἰλήφθω παντὶ ὑπάρχειν· ἀνάγκη οὖν τὸ Β παντὶ τῷ Γ ὑπάρχειν. 11 Ὥστε τριῶν ὄντων ἕκαστον συμπέρασμα γέγονε, καὶ τὸ κύκλῳ ἀποδεικνύναι τοῦτ´ ἔστι, τὸ τὸ συμπέρασμα λαμβάνοντα καὶ ἀνάπαλιν τὴν ἑτέραν πρότασιν τὴν λοιπὴν συλλογίζεσθαι.

12 Ἐπὶ δὲ τῶν ἐν μέρει συλλογισμῶν τὴν μὲν καθόλου πρότασιν οὐκ ἔστιν ἀποδεῖξαι διὰ τῶν ἑτέρων, τὴν δὲ κατὰ μέρος ἔστιν. Ὅτι μὲν οὖν οὐκ ἔστιν ἀποδεῖξαι τὴν καθόλου, φανερόν· 13 τὸ μὲν γὰρ καθόλου δείκνυται διὰ τῶν καθόλου, τὸ δὲ συμπέρασμα οὐκ ἔστι καθόλου, δεῖ δ´ ἐκ τοῦ συμπεράσματος δεῖξαι καὶ τῆς ἑτέρας προτάσεως. Ἔτι ὅλως οὐδὲ γίνεται  [59] συλλογισμὸς ἀντιστραφείσης τῆς προτάσεως· ἐν μέρει γὰρ ἀμφότεραι γίνονται αἱ προτάσεις. Τὴν δ´ ἐπὶ μέρους ἔστιν.  14 Δεδείχθω γὰρ τὸ Α κατὰ τινὸς τοῦ Γ διὰ τοῦ Β. Ἐὰν οὖν ληφθῇ τὸ Β παντὶ τῷ Α καὶ τὸ συμπέρασμα μένῃ, τὸ Β τινὶ τῷ Γ ὑπάρξει· γίνεται γὰρ τὸ πρῶτον σχῆμα, καὶ τὸ Α μέσον. 15 Εἰ δὲ στερητικὸς ὁ συλλογισμός, τὴν μὲν καθόλου πρότασιν οὐκ ἔστι δεῖξαι, δι´ ὃ καὶ πρότερον ἐλέχθη· 16 τὴν δ´ ἐν μέρει ἔστιν, ἐὰν ὁμοίως ἀντιστραφῇ τὸ Α Β ὥσπερ κἀπὶ τῶν καθόλου, [οὐκ ἔστι, διὰ προσλήψεως δ´ ἔστιν,] οἷον ᾧ τὸ Α τινὶ μὴ ὑπάρχει, τὸ Β τινὶ ὑπάρχειν· ἄλλως γὰρ οὐ γίνεται συλλογισμὸς διὰ τὸ ἀποφατικὴν εἶναι τὴν ἐν μέρει πρότασιν.

suite  

1 Démontrer circulairement et réciproquement, c'est au moyen de la conclusion et de l'une des propositions, dont l'attribution est renversée, conclure l'autre proposition que l'on avait prise dans le syllogisme antérieur. 2. Par exemple, si, devant démontrer que A est à tout C, on l'a démontré par B; et que l'on démontre ensuite que A est à B en supposant que A est à C et C à B, on conclura ainsi que A est à B. Mais, d'abord, on avait supposé, au contraire, que B est à C. Ou bien encore , si, pour démontrer que B est à C, l'on suppose que A est à C, ce qui était la conclusion antérieure, et que B est à A ; mais, d'abord, on supposait, tout au contraire, que A était à B. 3 Il n'y a pas d'autre manière de faire une démonstration réciproque. Si l'on introduit un autre moyen, la preuve n'est plus circulaire ; car alors on ne garde plus les mêmes propositions. Et si c'est elles qu'on emploie, il n'en faut prendre qu'une seule; car si l'on prenait les deux, la conclusion serait la même, tandis qu'il faut qu'elle soit autre. 4 Dans les termes qui ne se convertissent pas, le syllogisme a lieu, l'une des propositions restant indémontrée, parce qu'il n'est pas possible de prouver, avec des termes de ce genre, que le troisième terme est au moyen, ou le moyen au premier. Avec des termes réciproques, on peut au contraire les prouver tous les uns par les autres ; c'est, par exemple, quand A, B, C, se convertissent les uns dans les autres. 5 Car soit démontré A C par l'intermédiaire de Β, et, en outre, A B, par la conclusion et la proposition Β C renversée ; et de même, B C, par la conclusion et par la proposition A B renversée; il faut démontrer la proposition C B et B A; car ce sont les seules dont nous nous sommes servis sans les avoir démontrées. Si donc l'on suppose que B est à tout C, et que C est à tout A,  il y aura syllogisme de Β relativement à A. De même, si l'on suppose que C est à tout A, et A à tout Β, il est nécessaire que C soit à tout B. Ainsi donc, dans ces deux syllogismes, la proposition C A est prise sans qu'on la démontre, mais toutes les autres sont démontrées ; et si nous démontrons aussi celle-là, toutes seront démontrées les unes par les autres. Si donc l'on suppose que C est à tout Β et Β à tout A, les deux propositions sont démontrées; et C est nécessairement à A. 6 Il est donc clair que c'est seulement avec des termes qui se convertissent que l'on peut faire des démonstrations circulaires et mutuelles; dans les autres cas, il en est ainsi que nous lavons dit.  7 Il arrive aussi dans ces derniers syllogismes que, pour démontrer, on se sert du démontré même ; car C est démontré de B, et Β de A, en supposant que C est dit de A; et C a été démontré de A par ces mêmes propositions. Ainsi nous nous servons de la conclusion pour faire la démonstration.

8 Dans les syllogismes privatifs, voici comment l'on démontre les termes les uns par les autres. Soit B à tout C, et A à aucun B. La conclusion est que A n'est à aucun C. Si donc il faut conclure que A n'est à aucun B, proposition qu'on a déjà prise, A ne sera à aucun C, mais C sera à tout B ; car, de cette façon, la proposition est renversée. 9 Mais s'il faut conclure que B est à C, il ne faut plus convertir A B de la même manière ; car c'est une même proposition, que B n'est à aucun A, et que A n'est à aucun B. 10 Mais il faut supposer que B est à tout ce à quoi A n'est pas. Soit A n'être à aucun C, ce qui était la conclusion; mais que B soit à tout ce à quoi A n'est pas; il est donc nécessaire que B soit à tout C. 11 Ainsi, de ces propositions, chacune est devenue conclusion; et c'est là démontrer circulairement, c'est-à-dire, en prenant la conclusion et l'une des propositions renversée, conclure l'autre proposition.

12 Dans les syllogismes particuliers, il n'est pas possible de démontrer la proposition universelle par les autres, mais on peut démontrer la particulière. 13 Et l'on voit bien pourquoi cela n'est pas possible pour l'universelle; c'est que l'universelle se démontre par des termes universels; mais la conclusion ici n'est pas universelle ; et il faut faire la démonstration au moyen de la conclusion et de l'une des propositions. Il n'y a même pas encore de syllogisme en convertissant la proposition, parce que les deux propositions deviennent alors particulières. 14 Mais on peut démontrer la particulière. Soit démontré que A est à quelque C par B. Si l'on suppose que B est à tout A, et que l'on garde la conclusion, B sera aussi à quelque C; c'est la première figure, et A est le moyen. 15 Si le syllogisme est privatif, on ne peut démontrer la proposition universelle par le motif qu'on a dit précédemment. 16 On ne peut pas plus démontrer la particulière, si A Β est renversé comme dans les syllogismes universels; mais on le peut par assump-tion. Ainsi Β est à quelqu'une des choses, à quelqu'une desquelles A n'est pas. Si les termes ont une autre disposition, il n'y a plus de syllogisme, parce que la particulière dévient négative.

suite

§ 1. Définition de la démonstration circulaire. Il faut que tour à tour chaque prémisse devienne conclusion ; et la conclusion, tantôt majeure, tantôt mineure.

— Dont l'attribution est renversée, Ce n'est pas la conversion proprement dite, comme dans les propositions absolues ; et il ne faut pas non plus la confondre avec la conversion toute différente des modales. Voir liv. 1, ch. 2 et 3. Il s'agit ici d'un renversement plutôt que d'une conversion. La démonstration circulaire peut être plus ou moins complète, comme on le verra dans ce chapitre. Elle n'est parfaite qu'en Barbara; et encore faut-il que tous les termes soient réciproques, c'est-à-dire qu'étant d'extension parfaitement égale, ils puissent toujours être pris indifféremment les uns pour les autres. Ainsi les deux termes de cette proposition : Tout être qui peut rire est homme : tout homme est un être qui peut rire.

§ 2. Voici ces trois syllogismes dont le second prouve la majeure du premier, laquelle devient conclusion, la conclusion du premier devenant majeure du second ; et dont le troisième prouve la mineure du premier, laquelle devient conclusion, la conclusion du premier devenant mineure du troisième; ainsi : 1° A est à tout Β, B est à tout C, donc A est à tout C; 2°* A est a tout C, C est à tout B, donc A est à tout B ; 3° B est à tout A, A est à tout C, donc B est à tout C.

— On verra plus bas, § 5, que le cercle parfait comprend encore trois syllogismes démontrant les trois propositions renversées du premier syllogisme, c'est-à-dire, la mineure du second, la majeure du troisième, et la conclusion renversée du premier.

§ 3. Il ne peut y avoir d'autre méthode que celle qu'on vient d'indiquer ; car si l'on prend un moyen différent du premier, c'est un nouveau syllogisme; ce n'est plus le premier sur lequel on revient circulaire ment. Si l'on prend plus d'une des deux propositions, c'est-à-dire si l'on prend les deux dans les nouveaux syllogismes, on obtient la même conclusion : il n'y a pas de mouvement, et par conséquent pas de cercle; car la démonstration circulaire est une sorte de mouvement.

§ 4. Qui ne se convertissent pas, c'est-à-dire, qui n'ont pas une extension parfaitement égale.

— Restant indémontrée, c'est-à-dire que celle des propositions où les termes ne sont pas réciproques ne peut être démontrée circulairement.

— Que le troisième terme est au moyen, c'est-à-dire, la mineure du second syllogisme du § 2.

— Ou le moyen au premier, c'est-à-dire, la majeure du troisième syllogisme du § 2.

— Avec des termes réciproques, c'est-à-dire, d'extension égale. C'est là la condition essentielle de la démonstration circulaire parfaite.

§ 5. Voici tous les syllogismes du cercle parfait, ils sont au nombre de six : 1° ABC, A est à tout Β, B à tout C, donc A à tout C;  2° A est à tout C, C est à tout B, donc A est à tout B;  3° B est à tout A, A est à tout C, donc B est à tout C; 4° B est à tout C, C est à tout A, donc B est à tout A ; 5° C est à tout A, A est à tout B, donc C est à tout B ; 6° enfin, C est à tout Β, B est à tout A, donc C est à tout A. Ainsi le premier syllogisme est le point de départ; le second prouve la majeure du premier, le troisième, sa mineure; le quatrième prouve la majeure du troisième; le cinquième prouve la mineure du second, et enfin le sixième prouve la mineure du quatrième, laquelle est aussi majeure du cinquième.

— Les deux propositions sont démontrées, la majeure dans le cinquième, et la mineure dans le quatrième.

— On pourrait prendre pour termes réels: A pouvant rire, B raisonnable, C homme.

§ 6. Que nous l'avons dit, Voir pins haut, § 4.

§ 7. Ces derniers syllogismes, Les trois derniers.

— On se sert du démontré même, c'est-à-dire que, comme pour les trois premiers, on se sert de la conclusion démontrée pour démontrer les prémisses.

— C'est démontré de B, le cinquième syllogisme, et B de A, le quatrième, par C démontré de A, c'est-à-dire, par le sixième; et la conclusion même du sixième a été démontrée par les conclusions du cinquième et du quatrième servant de majeure et de mineure.

§ 8. Privatifs, c'est-à-dire, à conclusion universelle négative, Celarent.

— B à tout C, Aristote débute par la mineure. Premier syllogisme : A n'est à aucun Β, B est à tout C ; donc A n'est à aucun C.

—  S'il faut conclure que A n'est à aucun B, c'est-à-dire, pour démontrer la majeure déjà prise, on peut faire ce second syllogisme : A n'est à aucun C, C est à tout B, donc A n'est à aucun B.

§ 9. S'il faut conclure que A est à C, c'est-à-dire, pour démontrer la mineure de Celarent : on ne le peut par la conversion ordinaire; car la proposition universelle négative, se convertissant en ses propres termes, reste la même, c'est-à-dire, pour parler plus exactement, qu'elle ne change ni de qualité, ni de quantité ; alors les deux prémisses sont négatives, et le syllogisme n'est pas possible.

§ 10. Pour démontrer la mineure de Celarent, il faut faire une sorte d'assumption qui rend la majeure affirmative hypothétique de négative absolue qu'elle était d'abord ; et le syllogisme se construit ainsi : B est à tout ce à quoi A n'est aucunement: or, A n'est à aucun C; donc B est à tout C, mineure du premier syllogisme, qui est alors démontrée.

§ 11. Les trois propositions de Celarent se trouvent ainsi prouvées : d'abord la conclusion dans le premier syllogisme: la majeure, dans le second, § 8 ; la mineure dans le troisième, § 10, par assumption hypothétique.

§ 12. Après les modes universels, il faut étudier les modes particuliers, Darii et Ferio. En voici la règle générale ; pour Darii : la majeure est indémontrable par les deux autres, qui peuvent être démontrées par la majeure,

§ 13. Le motif en est évident, c'est que la majeure étant universelle, lorsqu'elle devient conclusion, les deux prémisses sont particulières, ce qui ne donne pas de syllogisme : et même la conversion de la mineure ne remédie ici à rien, puisque la particulière affirmative, en se convertissant , reste toujours particulière affirmative.

§ 14. On peut démontrer la particulière , c'est-à-dire, la mineure. Voici le premier syllogisme : A est à tout Β; B est à quelque C: donc A est à quelque C. Voici le second qui prouve la mineure remplacée alors par la conclusion qu'elle-même remplace ; mais de plus, il font renverser la majeure : B est à tout A ; A est à quelque C : donc B est à quelque C.

§ 15. Si le syllogisme est privatif, Ferio.

— La proposition universelle, c'est-à-dire, la majeure.

— Précédemment, § 13.

§ 16. On ne peut pas plus démontrer la particulière, c'est-à-dire, la mineure.

— Si AB est renversé, comme au §14.

— Par assumption, comme pour la mineure de Celarent, § 10. Il faut faire en sorte que la particulière négative de la conclusion O devienne affirmative; alors le syllogisme reste en Ferio. Voici le premier syllogisme : A n'est à aucun B, B est à quelque C, donc A n'est pas à quelque C. Voici le second qui prouve la mineure : B est à quelqu'une des choses à aucune desquelles n'est A, A est non à tout C, donc B est à quelque C. On voit du reste que ces sortes de conclusions sont peu naturelles, et qu'il faut, en quelque façon, torturer les propositions, pour les obtenir.