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ΗΗΡΩΝΟΣ ΑΛΑΞΑΝΔΕΩΣ

ΠΕΡΙ ΔΙΟΠΤΡΑΣ.

HÉRON D'ALEXANDRIE.

DE LA DIOPTRE.

§ I.

Comme l'emploi de la dioptre fournit des applications nombreuses et indispensables aux usages de la vie, et que l'on en a beaucoup parlé, je pense qu'il est nécessaire de mettre par écrit les observations recueillies par nos devanciers (observations importantes, comme je viens de le dire), et en même temps de rectifier ce qui en a été dit avec trop peu d'exactitude. Je ne crois cependant pas qu'il soit nécessaire de rapporter ici tout ce que l'on trouve de mal exposé ou d'erroné et entièrement faux dans les auteurs qui nous ont précédé : on pourra toujours, quand on le voudra, juger de la différence qui se trouve entre eux et nous.[1] Ce n'est pas tout : ceux qui ont décrit ces sortes d'opérations n'ont pas toujours su établir leur pratique sur l'emploi du même instrument; et néanmoins, leurs appareils, tout nombreux et variés qu'ils sont, ne donnent que les solutions d'un petit nombre de problèmes. Nous, au contraire, non seulement nous nous sommes imposé la tâche de satisfaire, avec le même instrument, à toutes les questions déjà antérieurement proposées; mais, en outre, nous nous flattons que toute autre question nouvelle que l'on pourrait imaginer serait résolue avec la même facilité par le moyen de notre dioptre.

§ II.

Que l'emploi de la dioptre fournisse des applications nombreuses aux usages de la vie, c'est ce qu'il est facile de démontrer en peu de mots. En effet, elle est avantageusement employée à faire jaillir des eaux du sein de la terre, à construire des remparts, des ports, des édifices de toute espèce. Ensuite, elle est utile pour une foule d'objets qui rentrent dans l'observation du ciel ; telles sont la mesure des distances qui séparent les astres, celles de leur grandeur et de leur éloignement, la détermination des éclipses de soleil et de lune. Elle sert encore dans les études géographiques relatives aux îles et aux mers, et, en général, dans la mesure des distances de toute sorte, lorsque cette opération ne peut s'exécuter que de loin. Or, combien d'obstacles peuvent venir entraver nos projets! Tantôt, ce sont les ennemis qui sont maîtres du pays; tantôt, ce sont des accidents de terrain, un fleuve torrentueux, qui rendent les lieux impraticables et inabordables. Combien de fois, dans l'attaque d'une place forte, après avoir préparé les échelles et les autres machines nécessaires pour un assaut, n'est-il pas arrivé qu'au pied même des remparts on soit tombé entre les mains de l'ennemi, pour s'être trompé dans la mesure de ces remparts? Et cela, par défaut d'expérience dans la pratique de la dioptre; car, dans de pareilles circonstances, il faut être hors de la portée du trait pour pouvoir prendre les mesures dont on a besoin.

Cela posé, nous expliquerons, en premier lieu, la construction de la dioptre; ensuite, nous en développerons les usages.

§ III.

La dioptre est construite de la manière suivante : un support en forme de colonnette présente, à sa partie supérieure, un axe cylindrique auquel est fixé un plateau circulaire de cuivre qui lui est concentrique. L’axe est enveloppe par un tube de cuivre qui peut se mouvoir facilement autour de lui. A ce tube est fixée, par la partie inférieure, une roue dentée qui s'appuie sur le plateau; et il se termine, en haut, par une plinthe à laquelle on donne, en manière d'ornement, la forme du chapiteau d'une colonne dorique. A côté de la roue dentée est placée une petite vis dont le filet engrène avec elle; et les supports de cette vis sont fixés au plateau, dont le diamètre est plus grand que celui de la roue. Si donc nous faisons tourner la vis, nous ferons mouvoir en même temps la roue dentée ainsi que le tube qui fait corps avec elle, ce tube s'y trouvant fixé au moyen de trois goupilles qui, partant de sa base, pénètrent dans l'épaisseur de la roue qu'elles suivent dans son mouvement. Un sillon, de largeur à peu près égale au pas de la vis, est creusé suivant toute sa longueur; de sorte que, si nous faisons tourner cette vis, le sillon viendra se placer vis-à-vis des dents de la roue, qui se trouvera ainsi tout à fait libre dans ses mouvements;[2] ayant alors placé la roue dans une position convenable, faisons de nouveau tourner la vis si peu que ce soit, de manière que le filet vienne engrener avec les dents de cette roue, et celle-ci se trouvera fixée.

Soit donc AB le plateau qui environne l'axe et qui est attaché d'une manière fixe au support; GD la roue dentée qui fait corps avec le tube; EZ la vis placée à côté de cette roue; HC le tube adhérent à la roue, qui porte, comme on l'a dit, un chapiteau dorique KL. Maintenant, sur la plinthe de ce chapiteau sont fixés [verticalement] deux montants de cuivre, en forme de règle, séparés entre eux par un intervalle égal à l'épaisseur d'une roue; et sur la même plinthe, entre ces deux montants, se trouve une vis mobile dont les supports sont fixés sur le chapiteau du tube,[3] et qui est ajustée de manière à faire mouvoir cette roue dans un plan vertical. Dans l’intervalle des deux montants, qui s'élèvent à une hauteur de quatre doigts au-dessus du chapiteau, peut s'adapter une règle transversale de quatre coudées de longueur, dont la largeur et l'épaisseur sont en rapport avec l'intervalle précédent, et dont la longueur est partagée en deux par le même intervalle

Quelques lignes avant la fin de ce paragraphe, entre les mots στημάτια et ἁρμοστά, se trouve, dans les manuscrits, une place vide, destinée, à ce qu'il paraît, à contenir la figure de l'instrument; mais cette ligure manque entièrement. Venturi pense que cette place vide indique une lacune considérable du texte même. Je ne le crois pas, et je motiverai tout à l'heure mon opinion. Mais écoutons le traducteur italien ; ses raisons méritent d'être pesées : « La Dioptre, dit-il, avait une règle au moyen de laquelle on visait l'objet que l'on voulait observer. Cette règle tournait en rasant la surface d'un plateau d'une grandeur suffisante pour qu'on pût en diviser le limbe en trois cent soixante degrés et en parties de degré (voyez ci-après, § xxxii). Ce plateau devait encore être plus grand, si l'on devait s'en servir pour résoudre avec une exactitude tolérable les problèmes des §§ xviii, xix. Son plan était susceptible de prendre une inclinaison quelconque, ou encore une position perpendiculaire à l'horizon (§§ xviii, xix, xxxii). En outre, on pouvait mettre la règle dans une position inclinée quelconque, et l'y fixer (§§ x, xiv, xxi). La règle pouvait facilement être enlevée de dessus le plateau, et puis y être replacée (§ xxxii). Enfin, il y avait un demi-cercle, au moyen duquel la règle pouvait être dirigée vers une mire plus ou moins élevée, en se mouvant dans un plan perpendiculaire à l'horizon (§§ viii, ix); et ce demi-cercle devait être mobile entre les deux supports qui s'élevaient sur la plinthe, et dont l'auteur parle un instant avant la lacune des manuscrits. D'après une figure, quoique tout à fait informe, que l'on trouve dans les manuscrits (fig. 1), je conclus : que la colonne qui portait l'instrument était soutenue par trois pieds; que, pareillement aux poteaux dont nous verrons bientôt l'emploi dans l'opération du nivellement, elle portait un fil à plomb destiné à la mettre dans une position verticale: et enfin, que les fentes de la règle, au travers desquelles on visait, étaient faites en forme de croix. Ces données nous font voir que l'instrument d'Héron avait beau coup de ressemblance avec les théodolites de nos jours, et qu'il était à peu près tel que je l'ai représenté dans la figure 2. J'ai, de plus, conservé dans la figure 1 quelques dessins grossiers de l'instrument, tels qu'ils se voient dans les manuscrits.

« Peut-être, lorsqu’on faisait un nivellement, enlevait-on le tube CH et toute la partie supérieure de l'appareil, et mettait-on à sa place, avec un autre tube, la règle à niveau décrite dans le paragraphe suivant. Mais, puisque Héron a insisté sur la possibilité d'exécuter toutes les opérations avec un seul instrument, je préfère placer sur le plateau supérieur la même règle à niveau que l'auteur va maintenant décrire, et qui peut également bien servir à d'autres opérations que celle du nivellement, dès que l'on a fait écouler l'eau contenue dans les petits tubes de verre. »

Ainsi parle Venturi. Malgré ces raisons, je ne vois aucune preuve suffisante pour admettre une lacune aussi considérable qu'il la suppose ; et l'altération que le texte a pu, en effet, subir en cet endroit, ne me semble pas néanmoins être d'un autre ordre que les erreurs de copie qui se rencontrent çà et là dans tout le cours de l'ouvrage. Une chose que Venturi paraît n'avoir pas suffisamment comprise, c'est que plusieurs pièces de l'instrument étaient mobiles, et que, tout en les échangeant entre elles, on n'en avait pas moins toujours le même instrument. Or il ne manque ici que la mention des pièces mobiles, et Héron a bien pu, a dû même reporter toutes ces descriptions de détail aux passages où elles pouvaient être placées fructueusement : car ici elles eussent été inintelligibles. Il n'y a donc pas, suivant moi, de lacune proprement dite ; et le mot ἁρμοστά, qui commence le quatrième paragraphe de Venturi, n'est évidemment que l'adjectif de στημάτια, qui finit le troisième. Aussi ai-je cru devoir supprimer le titre du § iv, pour le reporter quelques lignes plus bas, a la description du tube à niveau.

La description du grand plateau, que la figure de Venturi place sous la règle à niveau, se trouverait donc entièrement déplacée en cet endroit. On remarquera, d'ailleurs, qu'en l'employant pour la première fois au § xviii, Héron commence par dire : établissons sur la dioptre un plateau horizontal sur lequel devra pivoter la règle. Or ces expressions ne donnent-elles pas lieu de supposer qu'il n'a pas été question de plateau dans ce qui précède ? Au § viii, il est bien aussi question d'un plateau, ou plutôt d'une roue, sur laquelle tourne la règle-, mais que l'on examine l'ensemble : plaçons, dit l'auteur, la dioptre munie de son demi-cercle, et faisons pivoter la règle qui s'appuie sar la roue, ὁ ἐπὶ τῷ τυμπανίῳ. Or la roue dont il est ici question n'est autre chose que le demi-cercle vertical : car l'auteur, dans la description qui nous occupe, pour désigner ce demi-cercle qui se meut dans un plan vertical, n'emploie pas d'autre expression que celle de τυμπάνιον, puisqu'il dit : ὥστε εἰς τὸν μεταξὺ τόπον αὐτῶν [τῶν κανονίων] πάχος τυμπανίον δύνασθαι ἐναρμοσθῆναι. C'est encore ainsi qu'il dit au § ix : ἐγχλίνω τὸ ἡμικύκλιον….. Le grand plateau proprement dit était donc une pièce mobile, employée seulement dans certaines circonstances, et que l'on supprimait dans les autres cas, et cette pièce est désignée par le mot τύμπανον, qu'il ne faut pas confondre avec τυμπάνιον.

Ainsi, il faut bien entendre que l'auteur grec n'a voulu donner ici que la description de la dioptre munie des seules pièces nécessaires à la solution du premier problème qu'il se propose, savoir, le problème du nivellement; et, dans l'exposition de chaque question, il a toujours soin de dire d'abord quelle est la pièce mobile dont l'instrument doit être muni.

En conséquence de ces diverses observations, je pense qu'il faut supprimer, dans la figure 2, le grand plateau en question, et réduire cette figure aux seuls éléments dont on reconnaît l'indication dans le texte. La figure 3 indique ces modifications.

Ce texte, comme on l'a vu, donne quatre coudées de longueur à la règle, et seulement une demi-coudée au tube du niveau. Or Venturi regarde ces deux choses comme incompatibles, et soupçonne qu'il y a une erreur de copiste dans un passage ou dans l'autre. Le niveau et la dioptre donneront, dit-il, un résultat bien plus exact, si les deux petits tubes de verre sont distants de quatre coudées. Je ne m'arrêterai point à discuter cette opinion ; je remarquerai seulement, d'abord, que les deux choses ne sont nullement contradictoires comme le prétend Venturi, et, en second lieu, que ce nombre de quatre coudées est aussi la longueur que Proclus (Hypotyposes, p. 109, éd. de Halma) donne à la dioptre d'Hipparque. Mais ce dernier instrument avait un but tout spécial, et, par suite, une construction entièrement différente. On peut en voir le détail dans Proclus (à l'endroit cité), dans les Commentaires de Théon (éd. de 1538, fol. 257 et 262), dans Bailly, Astronomie moderne (t. I, p. 180, 257, 479 et passim). Voyez aussi Am. Sédillot, Matériaux pour servir à l'histoire comparée des sciences mathématiques chez les Grecs et les Orientaux, p. 301. — H.V.

§ IV.

Sur la surface supérieure de la règle est creusé un canal cylindrique ou quadrangulaire, de dimension convenable pour recevoir un tube de cuivre dont la longueur, prise sur celle de la règle, est d'environ douze doigts. Au tube de cuivre sont fixés à angle droit, par les deux extrémités, deux autres tubes qui semblent n'être qu'une courbure du premier, en formant au-dessus de lui une saillie de deux doigts tout au plus. En outre, le tube de cuivre est enchâssé dans le canal de la règle, auquel on a donné une longueur appropriée à cet objet, de manière que, paraissant faire corps avec elle, il présente ainsi à la vue un aspect plus gracieux. Aux deux points où le grand tube se relève, et de chaque côté, s'emboîte un petit tube de verre dont le diamètre lui permet de s'ajuster bout à bout avec le tube de cuivre, et dont la hauteur est d'environ douze doigts; en outre, ces deux petits tubes de verre sont lûtes aux deux saillies du tube de cuivre avec de la cire ou tout autre mastic, de sorte que de l'eau versée dans l'un des tubes ne puisse s'échapper d'aucun côté.

Ce n'est pas tout; sur la règle transversale, là où sont fixés les deux petits tubes de verre, on fixe autour de ceux-ci deux petites enchâssures ou deux petits pilastres creux, dans l'intérieur desquels s'engagent les tubes de verre, de manière à faire corps avec eux. A ces pilastres s'adaptent deux petites lames de cuivre, qui peuvent glisser dans des coulisses, le long de leurs parois, en rasant la surface des tubes de verre, et dont le milieu présente des fentes au travers desquelles on peut viser. A ces lames sont fixés, par la partie inférieure, d'autres petits tubes d'un demi-doigt de long, dans lesquels s'engagent des goupilles de cuivre d'une longueur égale à la hauteur des pilastres qui enveloppent les tubes de verre. Ces goupilles pénètrent, par une ouverture, dans la règle qui supporte le tube de cuivre, et s'y implantent au moyen d'un filet de vis qui rencontre son écrou dans l'épaisseur même de la règle. Si donc on fait tourner la tête de ces goupilles qui dépasse dans le bas, on fera, par ce moyen, mouvoir en haut et en bas les petites lames qui présentent les fentes dont nous avons parlé. C'est ce qui arrivera nécessairement par l'action de cette extrémité des goupilles qui se trouve engagée dans l'intérieur des petits tubes adhérents aux lames.

§ V.

Maintenant que nous avons décrit la construction de la dioptre, nous allons parler des poteaux et des disques qui l'accompagnent. On équarrit deux poteaux, longs chacun de dix coudées, larges de cinq doigts et épais de trois. On y pratique sur toute la longueur, et par le milieu de la largeur, une rainure en queue d'aronde, dont la partie étroite soit en dehors. Dans cette rainure s'engage un tenon qui peut y glisser librement sans en sortir. Sur ce tenon est fixé un disque circulaire de dix ou douze doigts de diamètre, que l'on partage, par une droite perpendiculaire à la longueur du poteau, en deux demi-cercles, dont l'un est coloré en blanc et l'autre en noir. Du même tenon part une corde qui, s'enroulant autour d'une poulie située au haut du poteau, se rend à la face postérieure de celui-ci, du côté opposé à celui du disque. Si donc on plante ce poteau dans une position verticale, et que l'on tire la corde par derrière, on fera monter le disque; si, au contraire, on lâche la corde, le disque descendra en vertu de son poids, surtout si l'on a eu la précaution de clouer, à sa surface postérieure, une plaque de plomb qui aura pour effet de le rendre naturellement plus mobile. Par conséquent, lorsque nous aurons tiré la corde pour élever le disque, nous n'aurons qu'à l'arrêter pour fixer le disque à tel point du poteau que nous voudrons.

En outre, il faut diviser la longueur du poteau, à partir de sa base inférieure, en coudées, palmes et doigts, autant qu'il y en pourra tenir; puis, par les points de division, tirer des lignes indiquant les parties de la longueur sur celle des faces qui est à droite du disque. Quant à celui-ci, il portera, à sa face postérieure, un index qui, en suivant le diamètre dont on a parié, ira correspondre aux divisions de l'échelle tracée sur le poteau.

Ce n'est pas tout; les mêmes poteaux doivent se placer dans une position exactement perpendiculaire au sol, de la manière suivante : du coté oppose a celui ou sont tracées les divisions, on implante un piton, long de trois doigts environ, à l'extrémité duquel se trouve un trou percé de haut en bas, où peut passer un fil portant un poids suspendu. Pareillement, au bas du poteau est implantée une fiche d'une longueur égale à la distance du trou précédent au même poteau ; et, sur la tête de cette fiche, est tracée, par le milieu, une ligne droite verticale. Lorsque le fil à plomb battra contre cette ligne, ce sera une preuve que le poteau est dans une situation rigoureusement verticale.

Après avoir ainsi expliqué toute la construction de la dioptre, nous allons maintenant passer aux applications, en les exposant du mieux qu'il nous sera possible.

« Il est bon d'indiquer, dans leur ensemble, toutes les mesures dont Héron s'est servi dans cet ouvrage ainsi que dans les autres. La circonférence de la terre, dont il emprunte l'évaluation à Eratosthène, est de 252 mille stades, et, par conséquent, chaque degré est de 700 stades (xxxii). Le stade est de 400 coudées (xxxiv); la coudée de 24 doigts (Mathematici veteres, p. 142); le pied de 16 doigts (ibid. p. 115). On sait, d'ailleurs, que le palme était la sixième partie de la coudée (ibid. p. 55).[4]

« Que si l'on cherche à ramener ces mesures au mètre, il faudra, de toute nécessité, abandonner les hypothèses, plus ingénieuses que vraies, de ceux qui ont prétendu trouver dans les mesures géographiques des Grecs une concordance et une perfection dont ils étaient bien éloignés, comme on en sera convaincu tout de suite, si l'on veut seulement observer le procédé aussi incertain que grossier par lequel Ptolémée établit les bases de sa géographie. En raisonnant sur des données plus positives, on est conduit à identifier le mille romain à huit stades grecs communs, ce qui est conforme à la mesure d'Eratosthène lui-même, d'après Censorin[5] (De die natali, cap. xii) et Harménopule[6] (Πρόχειρον νόμων, liv. II, chap. xiv). Cette évaluation est, d'ailleurs, celle que donnent Strabon (liv. II), Vitruve[7] (liv. I, chap. xiv), et, en général, tous les auteurs contemporains d'Héron ou qui lui sont de peu postérieurs. Alexandrie était une ville toute d'institutions grecques; et, d'après le témoignage d'Hygin, à cette mesure correspondait le pied dont faisaient usage les Ptolémées dans la distribution des terres. Or, puisque, d'après ce que l'on sait là-dessus, l'ancien pied romain est de 0,295 m, la coudée d'Héron se trouve portée à 0,461 m. En conséquence, le degré d'Eratosthène serait fautif d'un sixième, erreur bien excusable pour ces temps-là. » — VR.

Il est nécessaire d'ajouter ici quelques mots pour expliquer, pour compléter ou pour rectifier les assertions de Venturi. Son raisonnement consiste à dire que les 252 mille stades attribués par Eratosthène à la circonférence de la terre, ne peuvent rien nous représenter, si d'abord nous ne nous faisons pas une idée nette de la valeur du stade qu'il emploie. Pour atteindre ce but, il admet que le mille romain contenait 8 stades ; et, en prenant pour un pas cinq fois la valeur du pied, qui est, suivant lui, de 295 millimètres, on arrive sans peine à 46.462.500 mètres, au lieu de 40 millions : c'est, de trop, 6 millions sur 40, ou un sixième à peu près. Telle est, à ce qu'il paraît, la pensée que Venturi rend d'une manière fort obscure. Il ajoute qu'à ce compte la coudée d'Héron valait 461 millimètres, ce qui doit être, car, en ajoutant à 295 sa moitié et multipliant par 25/24, rapport du pied olympique au pied romain, on trouve 460,9.

L'assertion relative à Hygin est fort singulière, et je ne sais pas où Venturi peut avoir pris ce qu'il avance. Je vois, au contraire, dans Hygin (p. 123, éd. Lachmann), que le pied de Ptolémée était plus grand que le pied romain de 1/24, ce qui produit, dans l'évaluation des surfaces, 1/12 + 1/576 en surplus.

Quant à moi, voici comment j'évalue les 250 mille stades d'Eratosthène (et non 252, ce nombre n'ayant été adopté qu'approximativement, pour avoir, en nombre rond, 700 stades au degré). Je prends, non le pied romain, mais le pied égyptien, qui est aujourd'hui exactement connu pour avoir 3 décimètres.[8] Le stade étant de 600 pieds ou 180 mètres, il s'ensuit pour les 250 mille stades d'Eratosthène, 45 millions de mètres, ce qui fait 1/8 de plus que la véritable valeur de la circonférence de la terre. (Cf. dans le Journal général de l’instruction publique, vol. XIV ou année 1845, n° 25 ou du 26 mars, p. 147, l'analyse d'une leçon de M. Guigniaut sur la mesure de la terre. —Voyez aussi le Traité de métrologie ancienne et moderne de M. Saigey, p. 57, et le Mémoire de M. Jomard sur le système métrique des anciens Egyptiens, p. 171.)

Pour compléter cette note, je transcrirai ici un passage du manuscrit grec supplémentaire 387 de la Bibliothèque impériale, qui contient plusieurs opuscules sous le nom d'Héron.[9] Ce n'est, du reste, qu'un abrégé ou résumé de deux passages analogues, donnés par Montfaucon (Analect. p. 313).

Voici le tableau synoptique de ces relations :

§ VI

Etant donnés deux points séparés par an intervalle quelconque, il s’agit d'examiner quel est le plus ou le moins élevé, et de combien ; ou de décider s'ils sont tous les deux de niveau, c'est-à-dire s'ils sont situés dans un plan parallèle à l'horizon. — Nous examinerons encore les relations mutuelles des lieux situés dans l'intervalle qui sépare les deux points donnés, ainsi que leurs relations avec les deux points primitifs.

Soient les deux lieux ou les deux points donnés, A, B, dont il faut déterminer le plus élevé et le moins élevé. Soit B celui d'où part l'eau, et A celui où elle doit être conduite. Je place en A l'un des poteaux dont il a été question; puis, ayant porté la dioptre aussi loin du point A qu'il est possible, sans cesser d'apercevoir ce poteau AG en allant du côté du point B, je fais tourner la règle transversale qui se trouve au haut de la petite colonne, et sur laquelle sont les tubes de verre, jusqu'à ce que cette règle paraisse être dans l'alignement de AG. Faisant ensuite tourner les vis qui traversent cette règle, j'élève les lames jusqu'à ce que leurs fentes soient vis-à-vis des lignes que marque, sur les tubes de verre, la surface de l'eau qui est dedans. Les lames étant arrêtées dans cette position, je regarde par leurs fentes pour voir le poteau AG, en faisant élever ou abaisser le disque autant qu'il est nécessaire pour apercevoir la ligne qui sépare le blanc du noir. Laissant alors la dioptre fixée dans cette position et passant de l’autre côté, je regarde, à travers les lentes, l’autre poteau que l’on éloigne de la dioptre aussi loin que peut s'étendre ma vue; et je fais de même placer son disque de manière à voir la ligne qui sépare les deux couleurs. Soit donc DE le second poteau, ZJ la dioptre, G, E, les points déterminés par la dioptre, D le point où le second poteau est fixé sur le terrain. Je mesure les deux lignes AG, DE; supposons que l'on ait trouvé AG de six coudées et DE de deux. Cela admis, je dispose [sur le papier] deux lignes [d'écriture]; dans l'une, j'écris le mot descente, et dans l'autre, le mot montée, comme on le voit plus loin; j'inscris les 6 coudées dans la ligne de la descente, et les 2 coudées dans la ligne de la montée. Maintenant, le poteau DE restant fixe, je transporte la dioptre par exemple en K; et seulement je retourne le poteau DE de manière que je puisse apercevoir de nouveau son échelle de division. Je mets les lames en place, et j'établis l'autre poteau en LC, au delà de la dioptre, et du côté opposé à DE;[10] puis, derechef, la dioptre restant fixée en place, je fais mettre le disque en ligne droite avec les fentes. Soit H, C, les points des deux poteaux, qui correspondent aux aiguilles des disques; je note la distance comprise entre le point H et le sol dans la colonne de la descente, et celle du point C dans la colonne de la montée ; supposons que la première distance soit de 4 coudées et la seconde de 2 coudées.

Alors, le poteau LC restant en place, je transporte la dioptre ainsi que le poteau DE. Puis, ayant placé en ligne droite, comme on l'a déjà dit, les disques et les fentes, je prends, sur les poteaux, les points L, M; je note la mesure de la descente en L et celle de la montée en M ; supposons la première d’une coudée et la seconde de 3.

Maintenant, le poteau restant en M, transportons la dioptre et le second poteau. Soit XO l'alignement de la dioptre; et supposons le chiffre de la descente en X de 4 coudées, et celui de la montée en Ο de 2 coudées.

Continuons de la même manière, jusqu'à ce que nous arrivions en B; soit la dioptre placée en T, RS son alignement, 5 le chiffre de la descente, 3 celui de la montée.

Soit ensuite la dioptre placée en Q, UF son alignement, 2 la descente, 3 la montée.

Ensuite, soit A' la dioptre, W& son alignement; soit la descente de 2 coudées, la montée de 3.

Puis D' la dioptre, B'G' son alignement, 5 coudées pour la descente, 3 pour la montée.

Soit encore Z' la dioptre, E'J' son alignement, la descente de 2 coudées, la montée de 1.

Enfin, supposons que l'un des poteaux soit parvenu près de la surface même de l'eau qu'il s'agit de conduire, et que, pour cette dernière station de la dioptre, nous ayons trouvé 3 coudées pour la descente et 1 pour la montée.[11]

Alors faisant la somme de tous les nombres précédemment marqués, tant pour la descente que pour la montée, je trouve 33 pour les premiers, et 23 pour les derniers. La différence est de 10 coudées en plus du côté de la descente; c'est le côté où l'on veut conduire l'eau : celle-ci coulera donc dans la direction BA; et je marque les 10 coudées dont le point B est plus élevé que le point A. Si les deux sommes se lussent trouvées égales, c'est qu'alors les deux points A et B eussent été également élevés, c'est-à-dire situés dans un même plan horizontal ; et, à la rigueur, dans ce cas, l'eau arriverait encore. Mais, si le nombre de la descente était le plus petit, alors il serait impossible que l'eau coulât d'elle-même, et il faudrait, de toute nécessité, employer une machine. Ce sera, s'il y a une grande différence de hauteur, un système de seaux, ce que l'on nomme une chaîne. Si la différence est petite, il suffira d'une vis ou d'une roue à aubes.

Quant aux lieux intermédiaires par lesquels nous nous serions proposé de conduire l'eau, nous obtiendrons leurs relations de position, soit entre eux, soit avec les points extrêmes, absolument par la même méthode, en appliquant à ces points intermédiaires l'hypothèse qu'ils ne sont eux-mêmes autre chose que les points donnés : il n'y a pas la moindre différence. Il conviendra encore, après avoir fait le calcul pour toute la longueur, de chercher quelle est la pente correspondante à chaque stade; puis d'élever des monticules dans les lieux intermédiaires, et d'y établir des signaux de reconnaissance ou des bornes portant des inscriptions; c'est le moyen de s'assurer que l'opération ne sera en erreur sur aucun point.

Observons, en outre, que l'eau ne doit pas être conduite en suivant la direction même de la pente, mais en choisissant la voie la mieux appropriée aux circonstances. Souvent, en effet, on rencontre un obstacle, soit une montagne rocheuse ou trop élevée, soit un terrain de nature poreuse, ou sulfureuse, ou de toute autre matière capable d'altérer la qualité de l'eau. Partout où nous en rencontrerons, nous nous détournerons, pour ne pas nuire à l'eau transportée. Et, pour éviter qu'en la dirigeant par un chemin plus long, on ne tombe dans une dépense trop considérable, nous montrerons dans le problème suivant comment on peut trouver la ligne droite qui passe par deux points donnés (l'un ne pouvant être vu de l'endroit où est l'autre), car cette ligne est « la plus courte de toutes celles qui aboutissent aux mêmes extrémités » [Archim. dans Proclus]. Alors, si, après la détermination de cette ligne, nous y rencontrons quelqu'un des inconvénients précédemment signalés, nous changerons de direction.

« Vitruve, liv. X, chap. iv, décrit 1° le tympan à bases parallèles, 2° les roues à auges, 3° la chaîne ou noria; et, dans le chapitre xi, il rapporte la construction de la vis hydraulique : ce sont les quatre machines indiquées ci-dessus par Héron.[12] Celui-ci décrit également, dans ses Pneumatiques, les pompes à élever l'eau; mais peut-être les anciens n'en faisaient-ils usage que dans les cas où aucune des quatre machines précédentes ne pouvait être employée : et cela, à cause de la déperdition de force qui a lieu par le frottement du piston et par la contraction des veines fluides. » — VR.

§ VII.

Etant donnés deux points tels que de l'un on ne puisse apercevoir l'autre, les joindre par une ligne droite au moyen de la dioptre, quelle que soit la distance qui les sépare.

Soient A et B les deux points donnes. Disposons la dioptre de manière à pouvoir viser dans deux pians perpendiculaires entre eux. Plaçons l'instrument en A, et, par son moyen, marquons, dans la plaine, une ligne droite AG d'une longueur arbitraire. Transportons ensuite la dioptre en G, et soit menée la droite GD perpendiculaire à AG, et d'une longueur quelconque. Transportons encore la dioptre en D, et tirons DE faisant un angle droit avec GD. De même, transportons la dioptre en E; menons la perpendiculaire EZ, et fixons le point Z. Menons la perpendiculaire ZH, et fixons le point H; puis, sur ZH, la perpendiculaire HC, et fixons le point C; puis, sur HC, la perpendiculaire CK, et fixons le point K; puis, sur CK, la perpendiculaire KL; et continuons ainsi jusqu'à ce que l'on aperçoive le point B. Supposons que nous y soyons parvenus, et transportons la dioptre le long de la droite KL, jusqu'à ce que, du point L de cette droite, on aperçoive, dans une direction perpendiculaire, le point B. Enfin, supposons que l'on voie le point B lorsque la dioptre est arrivée en L.

Tout en faisant ces opérations, nous les inscrirons sur un papier ou sur une tablette, c'est-à-dire que nous y représenterons la figure du tracé, en indiquant les sommets de la ligne brisée et les longueurs de ses diverses parties.

Tout cela supposé, imaginons que l'on mène, perpendiculairement à AG, la droite AM; puis, que l'on prolonge les droites LB, KC, ZH, ED, jusqu'aux points M, N, X, O, et les droites EZ, HC, GD, jusqu'aux points P, R, S. Il en résultera, d'après les valeurs précédentes, AO de 22 coudées comme GD, OX de 30 comme EZ, NX de 12 comme HC, et MN de 8 comme KL. De sorte que la ligne entière AM vaudra 72 coudées. Ensuite, MS vaudra 20 coudées comme AG, PS en vaudra 16 comme DE, PR 14 comme ZH; et ainsi le reste RS vaudra 2 coudées, et la somme RM en vaudra 22. Ensuite, RL vaudra 60 coudées comme CK, sur lesquelles PR en a 14 : ainsi le reste LP vaudra 46 coudées, et la somme LB 50; donc le reste PB vaudra 4 coudées, et le reste BR 10 coudées. Mais RM vaut 22 coudées; donc la ligne totale MB vaudra 32 coudées; et, comme, d'ailleurs, AM vaut 72 coudées, il s'ensuivra AM : MB : : 72 : 32.

Ce résultat obtenu, prenons sur AM une partie AT d'une longueur arbitraire, et par exemple de 9 coudées. Menons TU perpendiculaire à AT, et soit fait 73 : 32 : : 9 : TU; d'où TU = 4; et le point U se trouvera précisément sur la droite qui joint les deux points A et B. Menons de même sur TU la perpendiculaire UF, et donnons-lui, par exemple, une longueur de 18 coudées; puis menons à UF la perpendiculaire FQ; et, posant 72 : 32 :: 18 : 8, prenons FQ = 8 : le point Q sera sur la droite qui joint les deux points A et B. En continuant d'opérer ainsi avec la dioptre, et observant toujours le même rapport, nous obtiendrons des points successifs sur la droite demandée AB.

§ VIII.

Deux points étant donnés, dont l'un près de nous et l'autre au loin, mesurer la distance de leurs verticales, sans s'approcher de celui qui est éloigné.

Soient A, B, les deux points donnés, A près de nous, et B dans le lointain. Plaçons en A la dioptre munie de son demi-cercle [vertical], et faisons pivoter la règle appuyée sur le [diamètre de ce] demi-cercle, jusqu'à ce que, dans son alignement, on aperçoive le point B. Cela fait, passons de l'autre côté de l'instrument; puis, faisant tourner le demi-cercle, tout le reste demeurant fixe, prenons de notre côté [sur le terrain] un point G dans la direction AB. Conduisons, avec la dioptre, des points A et G, les deux droites AD et GE perpendiculaires à BG; puis prenons au hasard un point Ε sur GE. Ensuite, la dioptre ayant été transportée en E, disposons la règle de manière qu'on y puisse voir, outre le point B, le point d'intersection D de AD avec EB. Il en résultera un triangle BGE, ayant son côté GE parallèle à AD. Or nous pouvons connaître le rapport des distances GE, AD, mesurées horizontalement. Supposons que GE vaille 5 fois AD; alors BG vaudra 5 fois BA, et, par suite, AG vaudra 4 fois BA. Maintenant il ne reste plus qu'à mesurer horizontalement la distance AG, et l'on aura AB [en prenant le quart],

Héron emploie dans ce paragraphe et dans plusieurs autre (§§ x, xii, xiii, etc.) l’expression assez singulière de distance comptée, πρὸς διαβήτην.

Venturi traduit ces mots par distance comptée à la perche, alla pertica, et il pense que la perche est un instrument qui se replie en forme de compas.[13] « Peut-être, dit-il, les Grecs prenaient-ils les petites longueurs avec le compas, sauf à comparer ensuite celui-ci avec la mesure unitaire ou fondamentale, campion di misura (voyez § xxx); mais, lorsqu'il est question de longueurs considérables, Héron les mesure avec la corde ou avec la chaîne (§§ xxiii, xxxiv).

Or, en examinant avec attention les passages où est employée l'expression πρὸς διαβήτην, j'ai été conduit à une opinion toute différente de celle de Venturi. Il m'est impossible, quant à moi, de reconnaître à cette locution un autre sens que celui de distance comptée horizontalement, ainsi que je l'ai traduite, c'est-à-dire distance réduite à l'horizon, distance comptée entre deux verticales, distance cultellée, suivant une expression empruntée aux agrimensores romani.[14] Quant à la manière d'opérer cette cultellation, Héron ne s'explique pas à cet égard. Peut-être, en effet, se servait-on d'une perche, que l'on prenait la précaution de tenir bien horizontalement au moyen du niveau, ou bien d'un instrument analogue à celui que nous nommons compas à verge. Dans tous les cas, il fallait avoir grand soin que, dans deux positions successives, les extrémités fussent rigoureusement sur une même verticale ; mais Venturi ne mentionne nullement cette condition, cependant si essentielle, du mesurage qu'il nomme alla pertica.

Je le répète, il me paraît évident que partout où l'auteur parle de mesurer une distance πρὸς διαβήτην, c'est qu'il considère la direction dont il s'agit comme étant située ou ramenée dans un plan horizontal. Peut-être employait-on à cet usage l'instrument que Vitruve (VIII, vi) nomme chorobates, ce qui expliquerait l'expression χωροβατεῖν dont Héron se sert au § xii. Ou bien faut-il admettre que l'on employait effectivement le compas, διαβήτην, comme on le fait encore aujourd'hui dans les campagnes où l'instruction est peu avancée? Ce compas devait alors, de toute nécessité, pour remplir sa destination, porter un fil-à-plomb, comme le niveau des maçons. — H.V.

§ IX.

Prendre, avec la dioptre, la largeur d'un fleuve, en restant sur un seul et même lord.

Soient AB, GD, les deux bords du fleuve. Je place la dioptre sur le bord GD, par exemple en E, et je fais pivoter la règle, jusqu'à ce que je voie apparaître, dans sa direction, un point D sur le même bord. Amenant ensuite la règle dans un plan vertical EZ perpendiculaire à ED, je fais tourner le demi-cercle de manière à apercevoir, sur le bord opposé, dans la direction de la règle, un certain point Z. Si l'on suppose que les deux rives sont parallèles, la droite EZ, perpendiculaire à leur direction, sera la largeur du fleuve. Prenons donc, comme nous l'avons montré ci-dessus (§ viii), la distance horizontale ΕΖ nous pouvons être assures que c’est la largeur du fleuve ou la quantité cherchée.

« Ce problème facile se trouve aussi résolu dans les Cestes de Jules l'Africain (Mathematici veteres, p. 296). Il l'est encore, et avec plus de simplicité, par Junius Nipsus ou n'importe quel auteur, dans les Scriptores agrarii (Lachmann, p. 28). Cet ouvrage enseigne comment on peut prolonger la ligne d'arpentage au delà d'un courant d'eau. Peut-être, jusqu'ici, n'a-t-on pas bien compris ce fragment, et l'éditeur lui-même [Gœsius] moins que tous les autres; c'est pourquoi je le rapporte ici, en y ajoutant quelques détails pour le rendre clair et intelligible, avec la figure et les lettres. Cette citation servira, en même temps, à faire connaître le style des ingénieurs romains. Nous verrons, en son lieu, ce que c'était que le ferramentum et la groma (§ xxxii); pour le moment, qu'il nous suffise de savoir que c'était une espèce d'équerre.[15]

Fluminis varatio (Lachmann, p. 285). Si in agri quadratura tibi dictanti occurrerit flumen quod necesse sit varari, sic facies. Rigor AC qui impingit in fluvio, exinde versuram facies [in B]. In quam partem verteris, tetrantem ABE pones. Deinde transferes ferramentum in eo rigore BE quem dictaveris, ex eo rigore ABC qui in flumine impegerat. Deinde transferes ferramentum [in E], et comprehenso eo rigore EB quem dictasti, versuram facies BEF in partem dextram. Deinde exiges medium illum rigorem EB a tetrante B [ad tetrantem E], et divides illum in duas partes BD, DE, et signum D pones perpensum. Deinde figes ferramentum ad signum D quod dividet duas partes BD, DE, quas divisisti. Ex fixo ferramento et perpenso comprehenso rigore ad umbilicum soli (la ligne comprise entre le centre de l'équerre et le point D doit tomber d'aplomb sur le sol, que l'on suppose horizontal) emissum perpendiculum cum super signum D ceciderit, percuties gromam, donec comprehendes signum H quod posueras trans flumen. Cum diligenter comprehenderis, transies ex alia parte ferramenti, et manente groma dictabis rigorem DF. Ubi se consecuerit norma tua EF cum eo rigore DF quem dictaveris, signum F pones, et exiges numeros FE a signo F ad tetrantem FEB. Sed quia linea BE quam secueras mediam [in D] duo trigona ostendit DBH, DFE, et quia cathetus BD catheto DE par est, erit et basis BH basi EF par. Quantus ergo numerus basis EF junctus trigoni quem exegisti fuerit, tantus rigor BH alterius trigoni BDH cujus rigor [impactus] in fluvium numerus. Et de hac base quam exegisti tolles hunc numerum quem a tetrante ad fluvium exegisti. Reliquum quod superfuerit, erit latitudo fluminis. »

Saumaise avait parfaitement compris que, dans l'article qui vient d'être cité, varare signifie « passer le fleuve ; » mais Gœsius prétend qu'il s'agit plutôt d'en prendre la courbure, et il a ainsi induit en erreur ceux qui sont venus après lui, et principalement les lexicographes. Il convient donc de s'assurer complètement de l'origine et du sens de ce mot.

« Les érudits s'accordent à dire que vara est le nom d'un instrument fourchu qu'Horace appelle âmes, et Virgile furca bicornis. Schneider, mieux que Forcellini, a vu que vara, dans Columelle, est une petite fourche garnie de paille. Par vara, dans Vitruve, il faut entendre des poutres réunies en forme d'un Λ grec, pour soutenir le toit de la tortue militaire.

« L'adjectif varus s'applique à un objet divergent par rapport à un autre, et a le même sens que varicus. Les lutteurs agitaient, en les élevant, varas manus, brachia vara, c'est-à-dire élevaient les mains, les bras, en les écartant. Dion Chrysostome loue l'athlète Mélancoma, pour la force qu'il montrait en les maintenant ainsi longtemps élevées et séparées: Eustathe en parle aussi (Iliad. fol. 1322, 1324, et Odyss. fol 1839). Selon Varron, un beau chien doit avoir entra vara; les Geoponici ont traduit ce mot par σκαμβότερα, et du grec σκαμβὸς on a formé les mots italiens sgheembo et sghimbescio, dans le même sens que varus, c'est-à-dire oblique, tourné de travers et en biais, σκαιῶς. Toutes les fois que les jambes d'un homme vont en divergeant de bas en haut, on pourra toujours, à l'instar de Celse, les appeler varæ, c'est-à-dire crochues, bancales. Du neutre varum (par l'adoucissement du r) dérive vallum. « vel quod ea varicare nemo possit, vel quod extrema bacille forcillata sunt ad modum literæ V : » c'est l'étymologie adoptée par Varron. Pareillement, l'expression vara cornua, dans Ovide, signifie les cornes séparées et divergentes. Vara ingenia, dans Perse, sont les esprits de travers, biscornus; et regula varo pede, d'après le même auteur, est une équerre fausse, parce que ses côtés divergent et forment un angle obtus. Varicus est celui qui a les jambes et les cuisses élargies, (Ovide, De arte am. et Apul. liv. I.)

« Un sens analogue aux précédents est attaché aux deux verbes varare et varicare. Ennius dit consiliis obvarant: ils sont en désaccord, ils diffèrent d'opinions……. Selon Pline, le laboureur, courbé sur la charrue, en traçant un sillon de travers, prævaricat, mot qui n'est peut-être que l'abrégé de prœtervaricat. Enfin, ces deux verbes ont reçu, par métaphore, le sens adopte par les Italiens sous les formes valicare, varcare, parce que celui qui passe un ruisseau écarte les jambes pour le franchir. Aussi les gloses donnent-elles comme synonymes les mots varicat et ὑπερβαίνει, et dans Isidore, varicavit, ambulavit. Telle est l'interprétation de varare flumen dans le passage du recueil De re agraria qui vient d'être commenté. Dans un autre, que je rapporterai au § xxv, nous verrons varare employé dans le sens propre de diverger. » — VR.

On trouvera, à la fin de l'ouvrage (ci-après), le passage de Jules l'Africain auquel Venturi fait allusion dans la note précédente. — H.V.

§ X.

Etant donnés deux points vus de loin, trouver la longueur de la droite qui les sépare, réduite à l’horizon, ainsi que sa position.[16]

Soient A et B les deux points donnés (fig. 1) ; je dispose la dioptre à l'endroit où je me trouve, par exemple en G, et je dirige la règle de manière à apercevoir le point A sur son prolongement : la ligne de mire sera une droite AG. Je conduis, avec la dioptre, la droite GD perpendiculaire à GA, et je transporte l'instrument en un point Ε de la droite GD, d'où l'on puisse voir le point B sur EB perpendiculaire à GD : AG sera parallèle à BE. Je détermine la distance de A à G (§ viii), et de même celle de Ε à B. Si GA est égale à EB, AB sera égale à GE; et je pourrai mesurer cette dernière ligne, puisqu'elle est située près de moi. Mais supposons que BE surpasse G A, par exemple de 20 coudées; je prends, à partir de E, sur EB qui est de mon côté, EZ égale à 20 coudées : ZB sera égale à GA; de plus, elle lui est parallèle : par conséquent aussi AB sera égale et parallèle à GZ. Or cette dernière peut être mesurée, et il est clair que nous connaîtrons en même temps la position de AB, puisque nous avons trouvé une droite qui lui est parallèle.

On peut encore autrement[17] Déterminer la distance AB (fig. 2).

Je place la dioptre où je veux, par exemple en G. Par son moyen, je tire les deux lignes GA et GB, et je les mesure (§ viii). Je prends GD égale à une certaine portion de GA, par exemple la dixième partie, et GE égale à une semblable partie de GB. Si l'on joint DE, cette droite sera aussi la dixième partie de AD et lui sera parallèle. Mais je puis mesurer DE qui est près de moi; j'ai donc aussi la mesure et la position de AB.

On peut encore[18] Déterminer la distance AB (fig. 3) d'une autre manière.

Ayant placé la dioptre en G, je prends, en ligne droite avec GA, une certaine portion GD de cette ligne; et de même, ~ en ligne droite avec GB, une semblable portion GE de GB. Alors DE sera la portion semblable de AB, en même temps qu'elle lui sera parallèle. Mais on peut mesurer DE : on connaît donc la position et la grandeur de AB.

« Héron le Jeune a copié, sans démonstration, la solution de ce problème, dans les propositions 2^e, 3^e et 4^e de sa Géodésie traduite par Barocci.

« Le même problème se trouve résolu d'après la seconde méthode d'Héron, par Hygin, dans les Gromatiqnes (édition de Lachmann, p. 193). Mais il faut, dans la solution d'Hygin,[19] corriger les lettres à la fois dans la figure et dans le texte; autrement, en les prenant telles qu'elles sont, le passage est inintelligible. Voici quelle est, à mon avis, la figure véritable, ainsi que les corrections à faire :

Sit ergo forma conspectus ABCD.[20] Nunc [ex] linea primum constituta quæ est inter B [et] D, conspiciamus signum A; ex B[21] prolato per exiguum rigorem BE ferramento normaliter paucas dictabimus metas ex signo Ε (per EG). Prolato iterum exiguum ferramento in signum F, signum A conspiciemus, ita ut rigorem ex P missum (ad A) secet signum G; et quicumque numeri fuerint sic observabimus : quomodo fuerit EF ad EG, sic et FB ad BA tractabimus : erit (hœc) longitudo conspectus inter B, A. Eadem ratione et alteram partem DC conspiciemus (exempli gratia ex MNO). Quanto deinde CD longior fuerit (quam AB). signo H notabimus; et ex hoc signo in B rectam lineam injungemus HB, quæ erit ordinata AC. — VR.

§ XI.

Une droite étant donnée, mener à son extrémité une droite qui lui soit perpendiculaire, sans en approcher, non plus que de cette extrémité.

Soit AB la droite donnée, et A le point par lequel il faut mener la perpendiculaire. Déterminons près de nous la direction de AB, d'après la méthode déjà enseignée; et soit GD cette direction. Je porte la dioptre le long de GD, en conservant toujours la règle dirigée vers quelque point de la droite GD, jusqu'à ce qu'en regardant la direction perpendiculaire, on puisse y voir le point A. Supposons que cela ait lieu en Ε : il est clair que EA sera la perpendiculaire cherchée.

§ XII.

D'un point [élevé] que l'on aperçoit, abaisser une perpendiculaire sur le plan horizontal dans lequel on se trouve, sans approcher du point.[22]

Soit A le point élevé, et B un point de notre plan [horizontal]. Plaçons la dioptre en B; et imaginons que BG est le support, et DGE la règle le long de laquelle on vise. Dirigeons-la vers A; puis, la laissant dans cette position, plaçons entre elle et le point A, dans une situation verticale, deux piquets de grandeur inégale ZH, CK, dont le plus grand CK soit le plus rapproché du point A. Supposons que le terrain suive une ligne quelconque BZCL, et prenons BL pour la direction de notre plan horizontal. Plaçons les piquets ZH et CK de manière qu'ils paraissent ne faire qu'une seule droite passant par le point A ; alors, la règle DGE restant fixe, admettons que l'on voie HZ en H et KC en K. Prolongeons, par la pensée, HZ et KC respectivement jusqu’en M et N; et menons HX, KO, parallèles à BL. On pourra, par un nivellement, trouver de combien le point Ζ est plus élevé que le point B, puisque ces points sont près de nous; et, par conséquent, nous connaîtrons la longueur de ZM; et de même pour CN. Mais nous connaissons d'ailleurs HZ et KC : donc nous connaissons les lignes HM, KN, et par conséquent aussi leur différence KX. Nous connaissons également la distance HX, qui est la projection horizontale de ZC; par suite, nous pouvons avoir le rapport HX : KX. Supposons, par exemple, que l'on ait trouvé HX égale à 5 fois KX. Abaissons, sur notre plan horizontal BL, la perpendiculaire AORP; nous aurons aussi KO égale à 5 fois AO. Mais KO est connue : car c'est la distance CR réduite à l'horizon; nous aurons donc aussi AO. Et, comme OP, égale à KN, est aussi déjà connue, nous aurons ainsi la longueur totale de la perpendiculaire AP abaissée sur notre horizon.

« Le point R pourrait être inaccessible et même invisible, comme ce serait le cas, si A était la cime d'une montagne. Alors on pourra trouver la distance KO en opérant comme au § viii Portant la dioptre en C, j'en dirige la règle vers A; ensuite, je fais tourner le demi-cercle de manière que la règle descende à la position horizontale, en conservant toujours la mire dans le plan CAR, comme le même auteur le fait dans d'autres cas semblables (§§ viii, ix). Alors je fais tourner la même règle de manière à marquer, sur le terrain, une perpendiculaire à CR;[23] et, en continuant comme dans ce même § viii, je trouverai la distance du point C à la verticale AB, et, par suite, la hauteur du point A. Dans le paragraphe suivant, notre auteur suppose que l’on a déterminé la distance de la verticale AP sans en approcher. Frontin le Gromatique dit que, dans la guerre des Daces, on savait mesurer,