Euclide : la division du canon

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à LA TABLE DES MATIÈREs D'EUCLIDE}

Euclide le Géomètre

LA DIVISION DU CANON

Oeuvre numérisée par Marc Szwajcer

EUCLIDE

DIVISION DU CANON

1. Si (tout)[1] demeurait dans le repos et l’immobilité, il y aurait silence.[2] Or, s’il y avait silence et que rien ne fût en mouvement, aucun bruit ne frapperait l’oreille. Donc, pour que l’on puisse entendre quelque chose, il faut nécessairement qu’il y ait eu percussion et mouvement. En conséquence, comme tous les sons ont pour cause première une certaine percussion, et qu’une percussion n’est possible qu’autant qu’il y a eu mouvement; comme, en outre, parmi les mouvements, les uns sont plus denses, les autres plus rares; que les plus denses sont plus aigus, et les plus rares plus graves; enfin, comme les mouvements plus denses rendent les sons émis plus aigus, et les mouvements plus rares, les sons émis plus graves, il suit de là, nécessairement, que les sons seront plus aigus s’ils résultent de mouvements plus denses et plus nombreux; qu’ils seront plus graves s’ils résultent de mouvements plus rares et en plus petit nombre.[3] Par suite, les sons plus aigus qu’il ne convient, une fois relâchés,[4] au moyen d’une réduction de mouvement, atteignent le degré convenable, et les sons trop graves atteignent ce degré en étant surtendus[5] au moyen d’une addition de mouvements.

2. Toutes les choses composées de parties sont dites en rapport numérique entre elles; par conséquent, les sons doivent nécessairement être dits en rapport numérique entre eux.

3. Parmi les nombres, les uns sont dits en rapport multiple, les autres en rapport superparticulier, d’autres en rapport superpartient.[6] Il s’ensuit nécessairement que les sons seront dits en quelqu’un de ces rapports entre eux.

4. Parmi les sons, les multiples et les superparticuliers sont désignés par un même nom entre eux.[7]

5. Nous savons aussi que parmi les sons, les uns sont consonnants, les autres dissonants, et que les consonnants sont deux sons qui se confondent, les dissonants, deux sons qui ne se confondent pas.

6. Tout cela étant ainsi, il arrive naturellement que deux sons consonnants, puisqu’ils se confondent en un seul, appartiennent à des nombres désignés sous le même nom entre eux, qu’ils soient multiples ou superparticuliers.

7. THÉORÈME 1.[8] — Si un intervalle multiple doublé forme un nouvel intervalle, celui-ci sera aussi multiple.

D I——-——-I——-——-I——-——-I——-——-I

B I——-——-I——-——-I

G I——-——-I

Soit un intervalle B (et un intervalle) G et soit B double de G; soit, en outre, la proportion G: B:: B: D. Je dis que D est aussi multiple de G. En effet, comme B est multiple de G, G mesure B.[9] Or, on avait la proportion G : B :: B : D; de sorte que G mesure aussi D. Donc D est multiple de G.

8. THÉORÈME II. — Si un intervalle doublé forme un intervalle total multiple, il est aussi multiple.

(Même figure.)

Soit un intervalle B (et un intervalle) G, et soit la proportion G : B :: B : D; soit, en outre, D multiple de G. Je dis que B est aussi multiple de G. En effet, comme D est multiple de G, G mesure D. Or, j’ai appris que si des nombres quelconques sont en proportion, et que le premier mesure le dernier, il mesurera aussi les moyens.[10] Donc G mesure D; donc B est multiple de G.

9. THÉORÈME III. — Les nombres placés au milieu d’un intervalle superparticulier ne peuvent ni un seul, ni plusieurs, se trouver en proportion.

B I——-——I——-——-I——-——-I

G I——-——I——-——-I

D I——I——I——I——-I Z

Θ I——I——I

En effet, soit un intervalle superparticulier B (par rapport à) G; soient des nombres minimes DZ, Θ, dans le même rapport que B et G. Ceux-ci sont donc mesurés par la seule unité comme commune mesure.[11] Retranche le nombre HZ, égal à Θ; comme il resta l’unité, DZ est donc superparticulier de Q, et l’excès est DH, commune mesure de DZ et de Θ. Donc, aucun nombre moyen (proportionnel) ne pourra tomber entre DZ et Θ, car le nombre survenant serait plus petit que DZ, mais plus grand que Θ, et l’unité serait divisée, ce qui est impossible.[12] Donc aucun nombre ne tombera entre DZ et Θ. Or, autant de nombres tombent comme moyens proportionnels entre les nombres minimes, autant tomberaient en proportion au milieu de ceux qui ont le même rapport.[13] Or, aucun ne tombera entre DZ et Θ; donc aucun nombre ne tombera entre B et G.

10. THÉORÈME IV. — Si un intervalle non multiple est doublé, l’intervalle total ne sera ni multiple, ni superparticulier.[14]

D I——I——I——I——I——I——I——I——I——I

B I——I——I——I——I——I——I

G I——I——I——I——I——I

En effet, soit un intervalle non multiple B (par rapport à) G, et soit la proportion G : B :: B : D. Je dis que le nombre D n’est ni multiple, ni superparticulier de G. En effet, soit d’abord D multiple de G. Nous avons appris[15] que si un intervalle doublé produit un intervalle total multiple, il est multiple lui-même. Donc le nombre B sera multiple de G; mais il ne l’était pas (dans l’hypothèse); il est donc impossible que G soit multiple de G. Maintenant il n’est pas non plus superparticulier. En effet, aucun nombre ne tombe comme moyen proportionnel d’un intervalle superparticulier.[16] Or, le nombre B tombe entre les nombres D, G. Donc il est impossible que D soit ou multiple ou superparticulier de G.

11. THÉORÈME V. — Si un intervalle doublé forme un intervalle total non-multiple, il ne sera pas non plus multiple lui-même.

(Même figure.)

Soit un intervalle B (en rapport avec) G; et soit la proportion G : B :: B : D; soit D non multiple de G; je dis que le nombre B ne sera pas non plus multiple de G.

28. En effet, si B est multiple de G, D sera aussi multiple de G;[17] or, cela n’est pas. Donc B ne sera pas multiple de G.

12. THÉORÈME VI. — L’intervalle double se compose des deux plus grands superparticuliers, savoir : le sesquialtère et le sesquitiers.[18]

B I——I——I——I——I——I——I G

D I——I——I——I——I Z

Θ I——I——I——I

En effet, soit le nombre BG sesquialtère de DZ, et DZ sesquitiers de 8. Je dis que le nombre BG est le double de Θ. En effet, j’ai retranché le nombre ZK égal à 8, et le nombre GL égal DZ. Comme le nombre BG est sesquialtère de DZ, BL sera donc le tiers de BG et la moitié de DZ. Maintenant, comme DZ est sesquitiers de Θ, DK est le quart de DZ et le tiers de Θ. D’autre part, comme DK est le quart de DZ, et que BL est le tiers de BG, il s’ensuit que DK est le sixième de BΘ, or, DK était (par hypothèse) le tiers de Q, donc BG est le double de Θ.

13. Autre démonstration.[19]

A I——I——I——I——I——I——I

B I——I——I——I——I

G I——I——I——I

En effet, soit le nombre A sesquialtère de B, et B sesquitiers de G. Je dis que A est le double de G. En effet, comme A est sesquialtère de B, A contient B plus la moitié de B. Donc deux nombres A sont égaux à trois nombres B. Maintenant, comme B contient G plus le tiers de G, trois nombres B sont égaux à quatre nombres G; or, trois B sont égaux à deux A, donc deux A sont égaux à quatre G, donc A est égal à deux G; donc A est le double de G.

13 bis. THÉORÈME VI bis.[20] — Aucun rapport multiple ne se compose de rapports superparticuliers, si ce n’est le rapport double.

En effet, si cela était possible, supposons qu’un autre rapport multiple, AG se compose de rapports superparticuliers, AB et BG et soient D sesquialtère de E, E sesquitiers de Z.

D I——I——I——I——I——I——I

E I——I——I——I——I

Z I——I——I——I

D serait donc double de Z;[21] mais comme le plus grand rapport est le sesquialtère, et que le second est le sesquitiers, un des deux rapports DE, EZ, ou bien est identique avec l’un des deux rapports AB, BG, ou bien est différent de l’autre rapport, ou encore tous deux sont plus grands que les deux autres. Or, quel que soit le cas, D a un rapport plus grand avec Z que A avec G, ce qui est impossible; car, parmi les rapports multiples, le double est le plus petit. Donc aucun rapport multiple ne se compose de deux superparticuliers, si ce n’est le rapport double.

14. THÉORÈME VII. — L’intervalle formé d’un intervalle double et d’un intervalle sesquialtère est triple.

A I——I——I——I——I——I——I

I——I——I——I

G I——I——I——I

En effet, soit le nombre A double de B, et B sesquialtère de G. Je dis que A est triple de G. Comme A est double de B, A est donc égal à deux B. Maintenant, comme B est sesquialtère de G, B contient G et la moitié de G; donc deux B sont égaux à trois G; or, deux B sont égaux à A; donc A est égal à trois G; donc A est triple de G.

15. THÉORÈME VIII. — Si d’un intervalle sesquialtère on retranche un intervalle sesquitiers, l’intervalle qui reste est sesquioctave.

A I——I——I——I——I——I——I——I——I——I

B I——I——I——I——I——I——I

G I——I——I——I——I——I——I——I——I

En effet, soit A sesquialtère de B et G sesquitiers de B. Je dis que A est sesquioctave de G. Comme A est sesquialtère de B, A contient B et la moitié de B; donc huit A sont égaux à douze B. Maintenant, comme G est sesquitiers de B, G contient B et le tiers de B; donc neuf G sont égaux à douze B; donc huit A sont égaux à neuf G; donc A est égal à G plus le huitième de G; donc A est B sesquioctave de G.

16. THÉORÈME IX. — La somme de six intervalles sesquioctaves est plus grande qu’un seul intervalle double.[22]

En effet, soit un nombre donné A; soit B le sesquioctave de ce nombre, G le sesquioctave de B, D le sesquioctave de G, E le sesquioctave de D, Z le sesquioctave de E et H le sesquioctave de Z; je dis que H est plus grand que le double de A. Comme nous avons appris à trouver sept nombres successifs, progressant dans le rapport sesquioctave,[23] soient trouvés les nombres’ A, B, G, D, E, Z, H.[24]

Le nombre A est 262144

— B 294912

— G 331776

— D 373248

— E 419904

— Z 472392

— H 531441

H est plus grand que le double de A.[25]

17. THÉORÈME X. — L’octave est un intervalle multiple.[26]

A I————I————I————I————I

B I————I————I

G I————I

(En effet) Soit A, la nète des hyperboléennes, B, la mèse, G, le proslambanomène. L’intervalle A-G, qui forme une double octave, est consonnant; il est donc superparticulier ou multiple.[27] Or, il n’est pas super- particulier, car aucun son placé au milieu d’un intervalle superparticulier ne tombe en proportion;[28] il est donc multiple. Donc, comme les deux intervalles égaux A-B, B-G réunis forment un total multiple, l’intervalle AB aussi sera multiple.[29]

18. THÉORÈME XI. — Chacun des deux intervalles de quarte et de quinte, est superparticulier.[30]

A I——- I——- I——- I

B I————I————I————I

G I————I————I————I————I

En effet, soit A la nète des conjointes, B la mèse et G l’hypate des moyennes. L’intervalle A-G, double quarte (δισδιατεσσάρων), est dissonant, il n’est pas multiple.[31] Donc, comme les deux intervalles égaux A-B, B-G ne font pas un intervalle total multiple, l’intervalle A-B n’est pas non plus multiple,[32] or, il est consonnant; donc il est superparticulier.

Même démonstration pour la quinte.

19. THÉORÈME XII. — L’intervalle d’octave est double. En effet, nous avons montré qu’il est multiple.[33]

Par conséquent, il est double ou plus grand que l’intervalle double, mais, comme nous avons montré que l’intervalle double se compose des deux plus grands superparticuliers,[34] il en résulte que si l’octave est plus grande que l’intervalle double, elle se composera non pas de deux, mais d’un plus grand nombre d’intervalles superparticuliers. Or, elle se compose de deux intervalles consonnants, la quinte et la quarte. L’octave ne sera donc pas plus grande que l’intervalle double. Elle sera donc double.

Mais, comme l’octave est un intervalle double, et que l’intervalle double se compose des deux plus grands intervalles superparticuliers, l’octave se compose donc du sesquialtère et du sesquitiers, car ce sont les plus grands.

En effet, elle se compose de la quinte et de la quarte qui sont superparticulières. Donc la quinte, qui est le plus grand des intervalles (dont l’octave est composé),[35] sera sesquialtère, et la quarte, sesquitierce.

II est évident, d’ailleurs, que l’intervalle d’octave et quinte (quinte redoublée) est triple. En effet, nous avons montré que l’intervalle composé d’un intervalle double et d’un sesquialtère est triple;[36] de sorte qu’il est démontré que l’intervalle d’octave et quinte est triple, et que la double octave est quadruple.

On a donc montré dans quels rapports chacun des consonnants tient les sons compréhensifs entre eux.[37]

20. THÉORÈME XIII. — Il nous reste à parler de l’intervalle tonié (ou d’un ton), lequel est sesquioctave.

En effet, nous avons appris que, si, d’un intervalle sesquialtère, on retranche un intervalle sesquitiers, le reste est sesquioctave.[38] Or, si de la quinte on retranche la quarte, l’intervalle qui reste est celui d’un ton. Donc l’intervalle d’un ton est sesquioctave.

21. THÉORÈME XIV. — L’octave est un intervalle plus petit que six tons.

En effet, il a été montré que l’octave est double,[39] or le ton est sesquioctave.[40] Mais la somme de six intervalles sesquioctaves est plus grande que l’intervalle double.[41] Donc l’octave est moindre que six tons.

22. THÉORÈME XV. — La quarte est moindre que deux deux tons et demi, et la quinte, moindre que trois tons et demi.[42]

B I——I——I——I——I——I——I

G I——I——I——I——I——I——I——I

D I——I——I——I——I——I——I——I——I

Z I——I——I——I——I——I——I——I——I——I——I——I——I

Fn effet, soit B la nète des disjointes; G la paramèse; D la mèse et Z l’hypate des moyennes. Par conséquent l’intervalle GD est d’un ton; mais l’intervalle BZ, qui est une octave, est moindre que six tons;[43] donc les intervalles restants, BG et DZ, qui sont égaux, sont moindres que cinq tons; de sorte que BG, intervalle moindre que deux tons et demi, est une quarte, et que BD, moindre que trois tons et demi, est une quinte.

23. THÉORÈME XVI. — Le ton ne sera partagé ni en deux ni en plusieurs rapports égaux.[44]

En effet, il a été montré qu’il est superparticulier; or, dans un intervalle superparticulier, ni un seul (nombre) ni plusieurs ne peuvent tomber en proportion.[45] Donc le ton ne sera pas partagé en parties égales.[46]

24. THÉORÈME XVII. — Les paranètes et les indicatrices seront prises par consonance de la manière suivante:

Soit B une mèse;[47] surtendons à la quarte en G, et, e. à partir de G, relâchons à la quinte en D.[48] Donc l’intervalle BD est un ton. Maintenant, à partir de D surtendons à la quarte en E, et, à partir de E, relâchons à la quinte en Z. L’intervalle ZD sera donc un ton; ZB sera donc un diton. Donc D sera l’indicatrice.[49]

On prendra les paranètes de la même façon.

25. THÉORÈME XVIII. — Les parhypates et les trites ne partagent pas le pycnum en parties égales.[50]

En effet, soit B une mèse,[51] G une indicatrice, D une hypate. A partir de B, relâchons d’une quinte en Z, Z-D sera donc un ton. A partir de Z, surtendons d’une quarte en E. L’intervalle BE[52] sera donc un ton, ainsi que G-E.[53] Ajoutons l’intervalle commun D-G; Z-G sera donc égal à D-E; or, Z-E est une quarte; donc aucun son moyen ne peut tomber en proportion dans l’intervalle Z-E, car cet intervalle est superparticulier.[54] De plus le (rapport) D-Z est égal au rapport G-E [lequel est aussi superparticulier] ; donc, aucun (rapport) moyen ne tombera dans l’intervalle D-G,[55] lequel va de l’hypate à l’indicatrice. Donc la parhypate[56] ne partage pas le pycnum en parties égales.

Il en est de même de la trite.

26. THÉORÈME XIX. — Tracer le canon suivant le système appelé immuable.[57]

SECTION DU CANON

SUIVANT LES SYSTÈMES IMMUABLE ET MUABLE

Soit AB la longueur du canon, qui est celle de la corde; divisons-le en quatre parties égales aux points G, D, E. Le son de la longueur AB sera donc le plus grave, ou bourdon; or ce son AB est sesquitiers de GB, [59] et par suite GB consonnera à la quarte aigu avec AB. Le son AB est un proslambanomène; donc GB sera la diatonique des hypates [60]. Maintenant, comme le son AB est double de BD, il consonnera avec lui à l’octave, et BD sera une mèse. Puis, comme AB est quadruple de EB, [il consonnera avec lui à la double octave, et [61] EB sera une nète des hyperboléennes.

J’ai partagé en deux parties égales GB en Z; le son GB sera double de ZB, et, par suite, GB consonnera avec ZB à l’octave, de sorte que ZB est une nète des conjointes. J’ai pris sur DB le tiers (de sa longueur), DH et le son DB est sesquialtère de HB, de sorte que BD consonnera à la quinte avec HB; donc HB sera une nète des disjointes. J’ai établi HB égal à HΘ, de sorte que QB consonnera à l’octave avec RB, et, par suite, ΘB sera une hypate des moyennes. J’ai pris sur DB le tiers (de sa longueur) ΘK, et, par suite, le son ΘB est sesquialtère de KB, de sorte que KB est une paramèse. J’ai pris une longueur LK égale à KB, et il en résultera le son LB qui est une hypate grave [62]. On aura donc pris dans le canon tous les sons du système immuable.

27. THÉORÈME XX. — Il reste à prendre les sons mobiles.

J’ai divisé la longueur EB en huit parties égales, et établi une longueur EM égale à l’une d’elles, de sorte que MB est sesquioctave de EB. Maintenant, divisant à son tour MB en huit parties égales, j’ai établi NM égal à l’une d’elles; NB sera donc d’un ton plus grave que BM et MB que BE; par suite, NB sera une trite des hyperboléennes et MB une paranète des hyperboléennes diatonique. J’ai pris sur NB le tiers de sa longueur et j’ai établi NX égal à ce tiers, de sorte que XB est sesquitiers de NB, qu’il consonne [avec lui] à la quarte grave, et que le (son) XB devient une trite des disjointes. Maintenant prenant la moitié de la longueur de XB, j’ai établi XO égal à cette moitié, de sorte que OB consonne à la quinte (grave) avec XB; donc OB sera une parhypate des moyennes. J’ai établi OP égal à XO, de sorte que PB dévient une parhypate des hypates. J’ai pris GR qui est le quart de la longueur de GB, de sorte que RB devient la diatonique des moyennes.

FIN DE LA DIVISION DU CANON D’EUCLIDE

[1] Boèce a traduit en abrégeant les §§ 1-4 (Institutio musica, IV, 1, 1. Nous lisons εἰ <πάντων> εἴη..., comme a dû lire le musicographe latin.

[2] Voir à titre de rapprochements, sur les questions traitées dans l’opuscule sur la Division du Canon, Platon, le Timée, dans Th.-H. Martin, Etudes sur le Timée, t. I, pp. 389 et 415; t. II, pp. 1 et 35;— les commentateurs de tout ou partie du Timée, tels que Plutarque, Psychogonie, Proclus, Commentaire sur le Timée, p. 192; Chalcidius (même titre) dans Mullach, Fragm. philos. gr., t. II, p. 188; Michel Psellos, Psychogonie dans les notices d’A.-J.-H. Vincent sur divers mss. relatifs à la musique (Not. et extr. des mss., t. XVI, 2^e partie, p. 316; — Fragments d’Archytas, dans Porphyre, l. c., et dans Mullach, op. cit., t. I, p. 564; t. II, p. 118; Philolaüs, dans Mullach, même ouvrage, t. II, p. 1; Thion de Smyrne, Notions utiles pour la lecture de Platon, musique; Ptolémée, Harmoniques, l. I, ch. v, et le Commentaire de Porphyre sur ce passage; Nicomaque, Manuel d’harmonique et fragments (2^e volume de notre collection des auteurs grecs relatifs à la musique); Gaudence, Introduction harmonique, p. 13, éd. Meybaum; Aristide Quintilien, Sur la musique, p. 118, éd. Meybaum; Marcien Capelle (Noces de la Philologie et de Mercure, l. IX); Michel Psellos, Résumé de musique et Lettre sur la musique, texte que j’ai publié d’après un ms. de l’Escurial dans mon second rapport déjà cité, sur une mission littéraire en Espagne, et dont j’ai donné une traduction française dans l’Annuaire de l’association grecque, année 1874; Manuel Bryenne, Harmoniques, l. II, sections 7-15; Georges Pachymère, de l’Harmonique, ouvrage publié par Vincent (Notices, etc.), chap. 1^er; l’Anecdoton grec de Madrid sur le canon musical, dont j’ai inséré le texte, transcrit par Ch. Graux, et une traduction française dans l’Annuaire de l’association grecque, année 1877; enfin, l’Anecdoton grec de Florence, publié par M. Stamm, texte dont je présente ci-après une traduction française.

[3] Cf. le développement de cette théorie dans un texte attribué à Archytas de Tarente, rapporté par Porphyre dans son Commentaire sur les Harmoniques de Ptolémée, p. 236, éd. Wallis, et reproduit par Mullach, Fragmenta philosophorum graec., t. I, p. 564 (collection Didot).

[4] Nous dirions aujourd’hui : abaissés.

[5] Nous dirions aujourd’hui: élevés.

[6] Le nombre superparticulier ἐπιμόριος, est le numérateur d’une fraction dans lequel le dénominateur est contenu une fois, plus une fraction qui a pour numérateur 1; ex. 3/2 = 1 + ½. Le nombre superpartient, ἐπιμερής, le numérateur dans lequel le dénominateur est contenu une fois plus une fraction quelconque; ex. 7/5 = 1 + 2/5. Voir dans le Dictionnaire des antiquités gr. et rom., notre article Arithmetica.

[7] L’auteur appelle sons multiples, sons superparticuliers, les sons séparés par un intervalle en rapport multiple (ex. l’octave, en rapport double, de 2 à 1, la double octave, en rapport quadruple, de 4 à 1), ou en rapport superparticulier (ex. la quarte, dans le rapport de 4 à 3, la quinte, dans le rapport de 3 à 2, le ton, dans le rapport de 9 à 8, etc.). Le nom commun et identique pour les deux sons est le nom du rapport qui les relie entre eux.

[8] Quelques-uns de ces théorèmes se retrouvent en substance dans les Harmoniques de Ptolémée, au chap. v du livre I^er. Dans son commentaire sur ce chapitre, Porphyre a reproduit les théorèmes I à XVI.

[9] En d’autres termes, G est contenu exactement plusieurs fois dans B.

[10] Dans les Éléments d’Euclide, L VIII, prop. 7, on trouve le second terme, au lieu de : les moyens. Du reste, la démonstration s’appliquerait aussi bien au troisième terme, et par conséquent aux moyens.

[11] En d’autres termes, ces nombres sont premiers entre eux.

[12] Puisqu’elle est commune mesure.

[13] Eléments, VIII, prop. 5.

[14] Il ne sera pas non plus consonnant. Cf. le § 6.

[15] Théorème I.

[16] Théorème précédent.

[17] Théorème I.

[18] Les plus grands nombres superparticuliers sont les fractions qui ont pour dénominateur le plus petit nombre possible, inférieur d’une unité au plus petit numérateur.

[19] Porphyre et Boèce ne reproduisent que cette seconde démonstration.

[20] Ce théorème ne figure ni dans le texte d’Euclide ni dans la traduction de Boèce, mais Porphyre le rapporte entre les théorèmes VI et VII (l. c., p. 274). Nous sommes tentés de l’admettre à titre de restitution. M. Heiberg (l. c., p. 53) hésite à se prononcer.

[21] Théorème VI.

[22] Le rapport sesquioctave est le rapport propre à l’intervalle d’un ton; or, les Aristoxéniens disaient que l’octave contenait six tons justes. Euclide va montrer que l’octave est moins grande que la somme de six tons.

[23] El. d’Euclide, VIII, prop. 2.

[24] Pour établir cette progression on ajoute, au premier nombre donné, le huitième de ce nombre. Ainsi le sesquioctave de 64 est

64 + (64/8 = 8) = 72.

[25] L’excès de H 531441 sur le double de A 524288 est de 7153.

[26] La figure qui suit est inexacte et inutile, puisque, d’une part, les sons les plus aigus y sont représentés par les cordes les plus longues, et que, d’autre part, les noms des sons suffisent pour faire connaître les intervalles qu’ils comprennent. Nous la reproduisons pour mémoire; on pourrait la remplacer par celle-ci:

A B G

I————I————I

[27] Voir plus haut le § 6.

[28] Théorème III. <Or, B est en rapport double avec A.

[29] Théorème II.

[30] La figure qui suit pourrait être remplacée par celle-ci:

A B G

I————I————I

[31] Théorème IV, Cf. le § 6.

[32] Théorème V.

[33] Théorème X.

[34] Théorème VI.

[35] Nous ajoutons les mots placés entre parenthèses, d’après le texte imprimé de Porphyre (l. c., p. 276).

[36] Théorème VII.

[37] On profite ici du texte de Porphyre (comme l’a fait tacitement D. Gregory Εἰ ἄρα <δέδεικται> τῶν συμφόρων ἕκαστον ἐν τίσι λόγοις ἔχει. (l. c.), qui se rapproche plus de celui d’Euclide que la correction de Meybaum: τῶν συμφώρων μέγιστον )εν τρισὶ λόγοις ἔχει. Traduction de Meybaum: « Demonstratum ergo est consonorum maximum habere sonos qui ipsum contineant, tribus inter se proportionibus distantes. » — Commentaire: « Cum enim demonstrarit duplum constare ex duabus rationibus, illae ipsi duplae additae ternas efficiunt in his numeris. » Il est plus naturel de penser que l’auteur rappelle, résume ce qu’il a dit sur les consonnants, avant de passer à une autre sorte d’intervalles, c’est-à-dire au ton.

[38] Théorème VIII.

[39] Théorème XII.

[40] Théorème VIII.

[41] Théorème IX.

[42] La figure qui suit pourrait être remplacée avantageusement par celle-ci:

B G D Z

I————I——I————I

[43] Théorème XIV.

[44] Εἰς δύο ἴσους, etc., sous-entendu probablement λόγους. Il s’agit des rapports (λόγοι) correspondant aux intervalles fractionnaires démontrés ici comme ne pouvant exister. Les Aristoxéniens admettaient le partage du ton en parties égales.

[45] Théorème III.

[46] EiV isa, sous entendu μέρη.

[47] 2 G nète des conjointes.

4 E paranète des conjointes.

1 B mèse.

3 D indicatrice diat. des moyennes.

5 Z parhyp. des moyennes.

[48] On dirait aujourd’hui descendons d’une quinte jusqu’a D; montons d’une quarte jusqu’à G.

[49] Il ne s’agit, bien entendu, que de l’indicatrice diatonique. La prise du diton BZ par consonance est exactement celle qu’expose Aristoxène (El. h., II, § 75, pl. iii, fig. 3). — Je corrige Z du texte en D. La figure donnée par Meybaum est certainement fautive.

[50] Les Aristoxéniens admettaient ce partage.

[51]

[52] Je corrige ZD en BE.

[53] L’exemple est pris dans le genre enharmonique.

[54] Théorème III.

[55] Il est évident que si la division de la quarte construite ZE était possible, le point moyen serait situé dans la section moyenne DG.

[56] Corde située entre G et D, mais à inégale distance, d’après la démonstration.

[57] Boèce traduit librement ce théorème, l. c., IV, v.

[59] C’est-à-dire que la corde qui rend le son AB est sesquitierce de celle qui rend le son GB.

[60] La diatonique, expression elliptique fréquemment usitée pour désigner l’indicatrice diatonique aiguë.

[61] Nous proposons cette addition, nécessaire pour la suite du raisonnement.

[62] Ou hypate des hypates.