Abou Abdallah Mohammed ben Moussa Al Khârezmi est le plus ancien algébriste arabe connu. C'est l'opinion de Zakaria ben Mohammed ben Mahmoud Al Qazouïni et de presque tous les historiens et mathématiciens de sa nation. Ibn Khaldoun déclare expressément que le premier, parmi les Arabes, qui écrivit sur l'Algèbre, fut Abou Abdallah Al Khârezmi.

Vers l'an 820 de J. C, à la demande de l'illustre Khalife Al Maraoun, Mohammed ben Moussa composa « un ouvrage abrégé sur le calcul par djebr et mokâbalah, restreint à ce qu'il y a de plus aisé et de plus utile , c'est-à-dire aux opérations dont on a sans cesse besoin dans les cas d'héritage , de donation, de procès, dans les affaires du commerce et de la vie pratique, ou encore pour la mesure des terres, le creusement des canaux et autres applications du calcul à la géométrie. » C'est ainsi que s’exprime notre auteur lui-même dans sa préface à son Kitab al mokhtessar fî hissâb aldjebr oua'l mokâbalah. Ce petit traité eut de nombreux commentateurs, non seulement parmi les Arabes d'Espagne, honorés d'une mention spéciale à cet égard par Ibn Khaldoun,[1] mais encore parmi leurs frères d'Orient : il nous su dira de citer le célèbre Abou'l-wafâ Al Bouzdjâni, mort en 999 de J. C. L'auteur du lexique bibliographique intitule : Tarikh al hokama, (1198 de J. C.), parlant des ouvrages hindous parvenus aux Arabes, s'exprime ainsi : « In manus nostras incidit Liber Artis Logisticae, a Mohammado ben Musa al Khuarezmita exornatus, qui cœteros omnes brevitate methodi ac facilitate praestat, Indorumque in praeclarissimis inventis ingenium et acumen ostendit. » On sait qu'avant l’avènement d'Al Mamoun au Khalifat, c'est-à-dire avant 814 de J. C, et à la demande de ce prince, Mohammed ben Moussa avait déjà fait un Abrégé de Tables astronomiques dressées par un savant Hindou venu en 773 de notre ère à la cour d'Al Mansour, et traduites par Mohammed ben Ibrahim Al Fazâri.[2] Si l’on a pu contester la provenance hindoue de l'algèbre arabe, un fait historique demeure aujourd'hui incontestable : C'est que Mohammed ben Moussa Al Khârezmi est le véritable instituteur des nations de l'Europe moderne dans cette branche principale des Mathématiques. Les traductions latines de l'Algèbre de Mohammed ben Moussa, faites par les savants du moyen âge, furent la source où les savants du XVIe siècle vinrent puiser leurs connaissances algébriques. L'ars logistica, le calcul par Djebr de Mohammed ben Moussa, devint l'ars magna de Cardan et des autres mathématiciens de l'Italie, de l'Espagne, de la France, de l'Angleterre et de l'Allemagne.

L'existence d'une copie du Kitab al mokhtessar fî hissâb aldjebr oua'l mokâbalah de Mohammed ben Moussa Al Khârezmi, parmi les manuscrits arabes de la Bibliothèque Bodléienne d'Oxford, avait été dûment constatée par le catalogue de Jean Uri, mais le premier, Colebrooke, en 1817, attira sur ce précieux ms. l'attention du monde savant par la Dissertation magistrale qu'il mit en tête de son beau livre intitulé : « Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bhascara ». En 1831, M. Rosen publia le texte arabe tout entier en l'accompagnant d'une traduction anglaise. Quelques années plus tard, M. Libri reproduisit, dans le 1er volume de son Histoire des sciences mathématiques en Italie (paris 1835, Note iv, page 227, lignes 11-25; pages 228-264; page 265, lignes 1-14 - A Paris 1838, Note xii, page 253, lignes 12-24; pages 254-296; page 297, lignes 1-14) une traduction latine que possédait la Bibliothèque royale de Paris; mais le chapitre relatif à la géométrie, le bâb al messâhat, manquait. En 1846, désireux de combler cette lacune autant qu'il était alors en mon pouvoir, je publiai dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (tome cinquième, page 557, lignes 19-20; page 558-569; page 570, lignes 1-8) une traduction faite sur la version anglaise de Rosen, de cette partie du Traite de Mohammed ben Moussa. La traduction que je donne aujourd'hui diffère en certains endroits de la première, par la raison que, au lieu d'être exclusivement fondée sur la version anglaise, elle a été faite littéralement sur le texte arabe lui-même.

Ar. Marre.

BÂB EL MESSÂHAT

(Chapitre du Messâhat)[3]

Sache que l’expression « un par un » appartient au Messâhat, et signifie « derâa par derâa ».[4] Tout quadrilatère dont les côtés et les angles sont égaux, qui a pour chacun des côtés un, a pour sa superficie entière un. Si dans un quadrilatère équilatéral et équiangle, chaque côté est deux, alors sa superficie est quatre fois la superficie de celui qui est égal à « derâa par derâa »;de même trois par trois, et ainsi de suite en montant ou en descendant, ainsi un-demi par un-demi un quart, et de même des autres fractions. Tout carré dont chaque côté est un demi derâa, est égal à un quart de celui dont chaque côté est un derâa, et tu fais de même pour un, tiers par un tiers, et un quart par un quart, et un cinquième par un cinquième, et un demi tiers par un demi tiers,[5] ou plus ou moins que cela. Dans tout cane, si l'un des côtés (est multiplié) par un, c'est la racine de ce carré; si par deux, deux racines; que ce carré soit petit on grand.

Dans tout triangle équilatéral, si tu multiplies la colonne par la moitié de la base sur laquelle tombe la colonne; c'est la mesure du triangle.[6]

Dans tout rhombe équilatéral, si tu multiplies une des deux diagonales par la moitié de l'autre, c'est sa mesure.

Dans tout cercle, si tu multiplies le diamètre par 3 et 1/7, c'est la circonférence dont il est ceint, c'est le procédé usité par les gens du vulgaire.

La famille des géomètres a deux autres méthodes; l'une d'elles, c'est que tu multiplies le diamètre par lui-même, puis par dix, et qu'ensuite tu prends la racine du tout; ce qui en résulte, c'est la circonférence. La seconde, celle des astronomes, c'est que tu multiplies le diamètre par 62832, et que tu divises cela par 20000; ce qui en résulte est la circonférence. Et tout cela diffère peu l'un de l'autre.[7]

Et la circonférence, si tu la divises par 3 et 1/7, tu obtiens le diamètre. Dans tout cercle, si tu multiplies la moitié du diamètre par la moitié de la circonférence, c'est sa mesure; en effet dans tout polygone équilatéral et équiangle, parmi les triangles, quadrilatères, pentagones, et ceux d'un plus grand nombre de côtés, si tu multiplies la moitié du périmètre par la moitié du diamètre du cercle inscrit, c'est sa mesure.

Dans tout cercle, si tu multiplies le diamètre par lui-même, et que tu en retranches le septième et le demi-septième, c'est sa mesure. Et cela concorde avec la formule de la première classe.[8]

Tout segment de cercle est assimilé à un arc. Il faut nécessairement que ce segment soit égal au demi-cercle, ou plus petit que le demi-cercle, ou plus grand que le demi-cercle. Cela est indique par la flèche de l'arc : si elle est égale à la moitié de la corde, le segment est égal à la moitié du cercle; si elle est plus petite que la moitié de la corde, il est plus petit que la moitié du cercle; si la flèche est plus grande que la moitié de la corde, il est plus grand que la moitié du cercle. Si tu veux connaître de quel cercle il est, multiplie la moitié de la corde par elle-même, divise par la flèche, et ajoute le résultat à la flèche; ce que tu obtiens, c'est le diamètre du cercle dont ce segment fait partie.[9]

Si tu veux connaître l'aire de l'arc, multiplie la moitié du diamètre du cercle par la moitié de l'arc, et garde ce produit; puis retranche la flèche de l'arc de la moitié du diamètre du cercle, si l'arc est plus petit que la demi-circonférence, ou bien s'il est plus grand que la demi-circonférence, retranche la moitié du diamètre du cercle de la flèche de l'arc; ensuite multiplie ce qui reste par la moitié de la corde de l'arc, et retranche ce produit de celui que tu as gardé si l'arc est plus petit que la demi-circonférence, ou bien additionne-les ensemble si l'arc est plus grand que la demi-circonférence. Alors le résultat obtenu après l'addition ou bien la soustraction, c'est l'aire de l'arc.[10]

Dans tout solide quadrangulaire, si tu multiplies la longueur par la largeur, puis par la profondeur, c'est sa mesure. Si la base n'est pas quadrangulaire, mais qu'elle soit circulaire ou triangulaire ou autre, à condition que la profondeur reste égale et parallèle, pour opérer le messâhat de ce solide, tu calcules la surface de la base, tu sais sa mesure, tu la multiplies par la profondeur, et c'est la mesure (du solide).

Pour la pyramide, qu'elle soit triangulaire, quadrangulaire, circulaire, tu multiplies un tiers de la superficie de sa base par sa colonne, c'est la sa mesure.[11]

Sache que dans tout triangle rectangle, chacun des deux plus petits côtés étant multiplié par lui-même, les produits additionnés égalent le produit du plus grand côté multiplié par lui-même. Voici qui le démontre : Je trace un quadrilatère équilatéral et équiangle ABCD, je coupe !e côté AC en deux moitiés au point H, et je mène HR, puis je coupe le côté AB en deux moities au point T, et je mène TG. La surface ABCD est devenue quatre surfaces ayant leurs côtés et leurs angles égaux, savoir : surface AK, surface CK, surface BK et surface DK. Ensuite je tire du point H au point T une ligne, elle coupe la surface AK en deux moities. Cette surface a donné naissance à deux triangles, qui sont les triangles ATH et HKT. Or, il est bien évident pour nous que AT est la moitié de AB, que AH lui est égal comme moitié de AC, et que la ligne TH leur sous-tendante est la corde d'un angle droit. Je tire de même des lignes de T à R, de R à G, et de G à H. L'ensemble des carrés donne naissance à huit triangles égaux, et il est bien clair pour nous que quatre de ces triangles sont la moitié de la plus grande surface, c'est-a-dire de AD. Il est évident pour nous que la ligne AT (multipliée) par elle-même est la mesure de deux des triangles, et que AH par elle-même est la mesure de deux triangles qui leur sont égaux, la somme est donc la mesure de quatre triangles. Mais d'autre part le côté HT par lui-même est la mesure de quatre triangles. Enfin il est clair pour nous que la ligne AT par elle-même et AH par elle-même donnent une somme égale au résultat de la multiplication de TH par elle-même, c'est là ce que nous voulions montrer. Voici la figure[12] :

Sache qu'il y a cinq espèces de quadrilatères, la première dont les côtés sont égaux et les angles droits; la deuxième avec angles droits et côtés inégaux, la longueur étant plus grande que la largeur; la troisième se nomme rhombe et c'est celle dont les côtés sont égaux et les angles différents; la quatrième est le rhomboïde, sa longueur et sa largeur sont différentes et ses angles inégaux, mais les deux longueurs sont égales entre elles et ses deux largeurs aussi égales[13] ; la cinquième, dont les côtés et les angles sont inégaux.[14]

Pour la mesure des quadrilatères dont les côtés sont égaux et les angles droits, ou les côtés inégaux et les angles droits, si tu multiplies la longueur par la largeur, le résultat est la mesure. Exemples : 1° Une pièce de terre quadrangulaire dont chacun des côtés a cinq derâa, sa mesure est de vingt-cinq derâa. Voici la figure :

2° Une pièce de terre quadrangulaire; ses deux longueurs sont huit derâa, huit derâa, et ses deux largeurs six et six. Pour avoir sa mesure, tu multiplies six par huit, ce qui donne quarante-huit derâa; c'est là sa mesure. Voici la figure:

Soit le rhombe équilatéral dont chaque côté est cinq derâa, l'une de ses diagonales est huit, et l'autre six derâa. Apprends quelle est sa mesure, lorsque tu connais les deux diagonales ou l'une d'elles. Si tu connais les deux diagonales en même temps, c'est que tu multiplies l'une d'elles par la moitié de l'autre, c'est la sa mesure; ainsi tu multiplies huit par trois, ou quatre par six, ce qui fait vingt-quatre derâa, et c'est la mesure. Si tu connais une seule diagonale, tu sais bien qu'il y a deux triangles dans chacun desquels deux côtés sont cinq derâa, cinq derâa, leur troisième côté étant la diagonale. Calcule-les selon le calcul des triangles. Voici la figure :

Pour le rhomboïde on fait comme pour le rhombe.

Pour la dernière espèce de quadrilatères, tu connais sa mesure par le moyen de la diagonale, cela conduit au calcul des triangles. Apprends-le. Voici la figure du rhomboïde :

Les triangles. — Il y en a trois espèces : rectangles, acutangles et obtusangles.

Du rectangle. — Dans ce triangle, si tu multiplies chacun des deux plus petits côtés par lui-même, puis que tu fasses l'addition, cette somme est égale au résultat de la multiplication du plus grand côté par lui-même.

De l'acutangle. — Dans ce triangle, si tu multiplies chacun des deux plus petits côtés par lui-même, puis que tu fasses l'addition, la somme est plus grande que le plus grand côté multiplié par lui-même.

De l'obtusangle. — Dans tout triangle obtusangle, si tu multiplies chacun des deux plus petits côtés par lui-même, puis que tu fasses l'addition, la somme est plus petite que le plus grand côté multiplié par lui-même.

Le triangle rectangle est celui qui a deux colonnes et un diamètre (pour côtés); il est la moitié d'un quadrangle. Tu connais sa mesure, en multipliant un des deux côtés adjacents à l'an«le droit par la moitié de l'autre. Ce qui en résulte, c'est sa mesure. Exemple d'un triangle rectangle : un de ses côtés six derâa, un de ses côtés huit derâa, et le diamètre dix. Pour faire le calcul, tu multiplies six par quatre, ce qui donne vingt-quatre derâa, et c'est la mesure. S'il te plait de faire le calcul du triangle par la colonne, ce n'est que sur le plus grand côté que tombe sa colonne, car les deux plus petits côtés sont deux colonnes. Si tu veux cela, alors multiplie sa colonne par la moitié de sa base; ce qui en résulte, c'est sa mesure. Voici la figure :

La deuxième espèce. — Soit à mesurer un triangle équilatéral acutangle dont chaque côté a dix derâa. Tu détermines d'abord son masquèt al hadjar[15] et sa colonne. Sache que dans tout triangle isocèle, si tu mènes la colonne sur la basé, elle tombe à angles droits sur le milieu de la base, si les deux côtés sont égaux; s'ils sont inégaux, le masquèt al hadjar n'est pas au milieu de la base. Mais nous savons que dans ce triangle-ci, sur quelque côté que lu opères, le masquèt al hadjar ne sera jamais qu'en son milieu; et c'est cinq derâa. Pour connaître la colonne, lu multiplies le cinq par lui-même, et tu multiplies un des côtés, c'est-a-dire dix, par lui-même, ce qui fait cent; tu retranches de ce produit celui de cinq par lui-même, c'est-a-dire vingt-cinq; il reste soixante quinze. Tu en prends la racine, c'est la colonne, et elle est devenue un côté des deux triangles rectangles. Si tu veux la mesure, multiplie la racine de 75 par la moitié de la base, qui est 5; pour cela tu multiplies le 5 par lui-même, afin d'avoir la racine de 75 par la racine de 25; multiplie 75 par 25, c'est 1875; prends-en la racine, c'est la mesure du triangle. Et c'est 43 et peu de chose.[16] Voici la figure:

Si tu as un triangle acutangle dont les côtés sont inégaux, sache que sa mesure se connaît par son masquèt al hadjar et sa colonne. Soit un triangle dont un côté est 15 derâa, un côté 14 derâa, et un côté 13 derâa. Si tu veux connaître son masquèt al hadjar, prends pour base celui des côtés qu'il te plaira, prenons celui de 14. Son masquèt al hadjar tombe sur ce côté à la distance chéy (x) à partir de celui des deux côtés adjacents que tu voudras. Posons le chéy à partir de l'adjacent 13. Multiplions-le par lui-même, il devient un mâl (x²) ; retranchons-le de treize par lui-même, c'est-a-dire de 169, cela devient 169 moins mâl. Nous savons que la racine de cela, c'est la colonne. Il nous est resté de la base 14 moins chéy. Nous multiplions ce reste par lui-même, il en résulte 196 et mâl moins 28 chéy. Nous le retranchons de 15 par lui-même, le reste est 29 derhems[17] et 28 chéy moins mâl. La racine est la colonne. Or la racine de 169 moins mâl, c'est encore la colonne. Toutes deux sont donc égales. Compare-les, c'est que tu rejettes le mâl avec le mâl, car les deux mâl sont négatifs. Alors il reste 29 et 28 chéj égal à 169. Rejette 29 de 169, il reste 140 égal à 28 chéy. Un seul chéy est 5. C est le masquèt al hadjar à partir du côté adjacent, 13. Le complément de la base, contigu à l'autre côté, c'est 9. Si tu veux connaître la colonne, multiplie ce 5 par lui-même, puis soustrais le produit du côté contigu, 13, multiplié par lui-même. Il reste 144. La racine de cela est la colonne. C'est 12. La colonne tombe toujours sur la base suivant deux angles droits, et c'est pour cela qu'on la nomme justement colonne. Multiplie la colonne par la moitié de la base, c'est-a-dire par 7, tu obtiens 84 et c'est la mesure du triangle.[18] Voici la figure[19] :

La troisième espèce; Obtusangle. C'est le triangle qui a un angle obtus. Ce triangle a pour chaque côté un nombre différent; soit un de ses côtés six, un côté cinq, un côté neuf. Tu connaîtras sa mesure par son masquèt al hadjar et sa colonne. Or le masquèt al hadjar intérieurement ne tombe que sur le plus grand côté. Prends celui-ci pour base. Si tu posais un des deux plus petits côtés pour base, le masquèt al hadjar serait projeté en dehors d'elle. Tu trouveras son masquèt al hadjar et sa colonne, en suivant la même marche que je t'ai enseignée dans l'acutangle, et par suite sa mesure. Voici la figure :

Des cercles. — Nous avons terminé l'exposé de leurs propriétés et de leur mesure dans la première partie du livre.

Soit un cercle dont le diamètre est sept derâa, sa circonférence sera vingt deux derâa. Pour sa mesure, tu multiplies la moitié du diamètre[20] ; c'est-a-dire 3 ½ par la moitié de la circonférence dont il est ceint, c'est-à-dire par 11, cela fait 38 ½, et c'est sa mesure.

Si cela te plaît, multiplie le diamètre qui est 7 par lui-même, cela fait 49; retranches-en son septième et son demi-septième, c'est-à-dire 10 ½ il reste 38 ½, et c'est la mesure. Voici la figure :

Si la base de la pyramide était un cercle, alors retranche du résultat de la multiplication de son diamètre par lui-même, son septième et la moitié de son septième; ce qui reste, c'est sa mesure.

Si l'on dit: une pièce de terre est un triangle dont deux côtés sont dix derâa, dix derâa, et la base douze derâa; elle est circonscrite à une pièce de terre qui est un carré, combien chaque côté du carré ? Pour le déterminer, il faut que tu connaisses la colonne du triangle; multiplie la moitié de la base, c'est-adire six, par elle-même, ce qui donne 36, retranche cela de l'un des deux plus petits côtés multiplié par lui-même, c'est-à-dire de 100, il reste 64, prends-en la racine, 8; c'est la colonne. La mesure du triangle est 48 derâa, résultat de la multiplication de la colonne par la moitié de la base, qui est six. Nous posons un des côtés du carré, chéy (x); nous le multiplions par lui-même, il en résulte mâl (x²), nous le gardons. Nous savons qu'il nous est resté deux triangles aux deux côtés du carré, et un triangle au-dessus de lui. Or les deux triangles fixés aux deux côtés du carré sont égaux entre eux, leurs colonnes étant les mêmes et formant entre elles un angle droit. Leur mesure, c'est que tu multiplies chéy par 6 moins ½ chéy, ce qui est 6 chéy moins ½ mâl; telle est la mesure de la somme des deux triangles qui sont fixés aux deux côtés du carré. La mesure du triangle placé au dessus, c'est que tu multiplies huit moins chéy, qui est sa colonne, par la moitié de chéy. C'est quatre chéy moins un demi mâl. Tout cela additionné ensemble c'est la mesure du carré et la mesure des trois triangles; et c'est dix chéy. Tu l'égales avec 48, qui est la mesure du grand triangle. Il suit de là qu'un chej est 4 derâa et 4/5 derâa. Et c'est là chaque côté du carré.[22] Voici la figure :