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table des matières de NICOMAQUE DE GERASE

CHAPITRES IX^e ET XX^e DU LIVRE SECOND

DE

L’INTRODUCTION ARITHMÉTIQUE

DE

NICOMAQUE DE GÉRASE

TRADUITS DU GREC

EN FRANÇAIS PAR M. TH. HENRI MARTIN

Doyen de la Faculté de Lettres de Rennes

Membre correspondant de l'Institut de France et de l'Académie des sciences de Berlin.

AVEC DES REMARQUES DU TRADUCTEUR SUR CES CHAPITRES

Chapitre 9. Le nombre carré est celui qui vient à la suite du précédent, et qui, dans le tracé géométrique, ne donne plus, comme lui, trois angles, mais quatre angles, toujours pourtant en une figure équilatérale: tels sont les nombres 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Car les tracés géométriques de ces nombres deviennent des figures quadrangulaires équilatérales, de la manière suivante:

N. B. Le texte suppose évidemment des figures qui manquent dans l'édition et dan» les manuscrits.

et ainsi de suite, jusqu'où l'on veut. Du reste, ces nombres ont cela de commun avec les précédents, que l’accroissement des côtés suit la série naturelle des nombres. En effet, celui de ces nombres qui est le premier carré virtuel, c'est-à-dire le nombre 1, a pour coté l'unité; celui qui est le premier carré effectif, le nombre 4, a pour coté 2; celui qui est le second carré effectif, le nombre 9, a pour côté 3; celui d'après, qui est le troisième carré effectif, le nombre 16, a pour côté 4 ; le quatrième a pour côté 5; la cinquième 6 ; et de même, en général, les suivants ont pour côtés les nombres suivants. Le nombre carré est engendré, lui aussi, de la série naturelle des nombres exposés en rang, non plus en ajoutant à l'unité et à chacun des nombres suivants le nombre qui vient après, comme il a été montré que cela doit se faire pour les nombres triangles, mais en prenant toujours les nombres séparés par an intervalle d'une unité, c'est-à-dire les nombres impairs. En effet, le premier nombre, qui est 1, est le premier carré virtuel, le second, qui est 1 + 3, est le premier carré effectif; le troisième, qui est 1 + 3 + 5, est le second carré effectif; le quatrième, qui est 1 + 3 + 5 + 7, est le troisième carré effectif; le suivant se forme en ajoutant 9 aux nombres précédents ; le suivant en ajoutant 11, est toujours de même, il arrive également pour ces nombres que le côté de chacun d’eux est d’autant d’unités qu'il y a de nombres ajoutés ensemble pour former chacun de ces nombres.

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Chapitre 20. En outre, tout carré devient un rectangle oblong, si on l’augmente de son coté, et de même si on le diminue de ce même coté. Ainsi l’on conçoit que ce même carré devient autre soit en plus, soit en moins, si le changement s’accomplit par addition ou par soustraction; de même que les deux espèces de l’inégal, savoir le plus grand et le moindre, prennent naissance par une addition ou par une soustraction survenant à ce qui était égal. Ceci suffit pour prouver que ces deux espèces participent de l’identité et de la diversité, savoir, de la diversité, d'une manière indéfinie, et de l'identité, d'une manière définie; que l’unité et la dyade participent originairement à l’identité et à la diversité, et que secondairement l’impair participe à l’identité, parce qu'il est de la même nature que l’unité, et le pair à la diversité, parce qu'il est de la même nature que la dyade. Il est encore plus évident que le carré a de l'affinité arec l’identité, parce qu’il est formé de l’impair par composition, et que le rectangle oblong a de l'affinité avec la diversité, parce qu'il est formé du pair.

En effet, par une amitié réciproque, ces deux espèces, dans les deux séries, se communiquent l'une à l'antre séparément les mêmes différences, sans se communiquer les mêmes rapports par quotient, ou bien les mêmes rapports par quotient sans les mêmes différences. Car le rapport par différence entre 4 et 2 donne entre ces deux nombres le rapport par quotient 2 et le même rapport par différence entre 4 et 6 donne entre ces deux nombres le rapport par quotient 1 ½, et de même le rapporte per différence entre 9 et 6 donne entre ces deux nombres le rapport par quotient 1 ½, tandis que ce même rapport par différence entre 9 et 12 donne le rapport par quotient 1 1/3 entre ces deux nombres, et toujours de même. Ainsi ce qui est le même en qualité est autre en quantité ; et ce qui est le même en quantité est autre en qualité. D’un autre côté, il arrivera nécessairement que dans toutes les positions la même différence de deux termes sera dite toujours, avec différence d'une unité, ½ de un de ces termes et 1/3 de l'autre, ou bien 1/3 de l'un et ¼ de l'autre, ou bien encore ¼ de l'un et 1/5 de l'autre, et ainsi de suite. Mais voici ce qui. confirmera le mieux que l'impair est par excellence la cause de l'identité et que le pair ne l’est jamais; il faudra montrer que cette vérité se manifeste dans tonte progression par quotient, par exemple, dans la progression des doubles, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, et dans la progression, des triples, 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, et jusqu'où vous voudrez, vous trouverez nécessairement que tons les nombres de rang impair seront carrés et absolument aucun autre, et qu'il n'y aura pas un seul carré dans les rangs pairs. En outre, tous les nombres formés d'un même nombre pris trois fois comme facteur, c’est-à-dire les cubes, qui, ayant trois dimensions, semblent participer plus encore à l’identité, 1, 8, 27, 64, 125, 216, et ainsi de suite, sont l'œuvre des impairs et non l'œuvre des pairs, comme on va le voir par une méthode simple et sans complication. En effet, les nombres impairs depuis l'unité jusqu'à l'infini étant exposés en rang, faites l'observation suivante : le premier forme le cube virtuel; les deux suivants ajoutés ensemble forment le second cube; les trois suivants forment le 3^e ; les quatre d'après, le 4^e ; les cinq à la suite, le 5^e ; les 6 à la suite, le 6^e ; et ainsi à l'infini.

REMARQUES SUR LE CHAPITRE 9.

Le chapitre 9 du second livre de l'Introduction arithmétique de Nicomaque, le premier des deux chapitres dont on vient de lire la traduction, se rattache aux chapitres 7, 8, 9, 10, 11 et 12 de ce même livre, et ces six chapitres renferment une théorie sur laquelle quelques observations sont nécessaires.

Il y a entre l'arithmétique et la géométrie une analogie réelle, dont l'étude conduit à des applications utiles. Les lignes étant exprimées par des nombres dits linéaires, dont chaque unité représente l'unité de longueur, les surfaces sont exprimées par des nombres dits rectangles, qui sont le produit de deux nombres linéaires inégaux, ou par des nombres carrés, qui sont le produit de deux nombres linéaires égaux entre eux, c'est-à-dire d'un nombre linéaire pris deux fois comme facteur. Les volumes sont exprimés par des nombres parallélépipèdes rectangles, qui sont le produit de trois nombres linéaires quelconques, ou par des nombres cubiques, qui sont le produit de trois nombres linéaires égaux entre eux, c'est-à-dire d'un même nombre linéaire pris trois fois comme facteur. Cette théorie utile a été donnée par Euclide et par tous les géomètres.

Mais les philosophes grecs qui ont voulu spéculer sur les mathématiques se sont efforcés de pousser plus loin l'assimilation entre l'arithmétique et la géométrie. Cet effort a produit, entre autres théories plus curieuses qu'utiles, celle des nombres polygones, sur laquelle les textes principaux sont: 1° Nicomaque de Gérase, Introduction arithmétique en deux livres, livre 2, chap. 7, 8, 9, 10, 11 et 12 (p. 117-145 de l'édition de H. Ast); 2.° Jamblique, Commentaire sur l’Introduction arithmétique de Nicomaque (p. 82-87 de l'édition de Tennulius, Arnheim, 1668, in 4°); 3° Théon de Smyrne, Arithmétique, chap. 18, 19, 20, 23, 25, 26, 27, 28 (p. 47-56, 58-64 de l'édition complète donnée par Boulliau, Paris, 1644, in 4° ou p. 57, 59-61, 63-65 de l'édition des 32 premiers chapitres donnée par M, Van Gelder, Leyde, 1827, in 8°). Nicomaque de Gérase est un philosophe pythagoricien du second siècle de notre ère. Théon de Smyrne est un philosophe platonicien du commencement de ce même siècle) Jamblique est un philosophe néoplatonicien du quatrième siècle.

Je dis que la théorie de ces philosophes sur les nombres polygones est plus curieuse qu'utile, et qu'il en est de même de leur théorie sur les nombres polyèdres. J'excepte pourtant la partie qui concerne les nombres rectangles bicarrés, et les nombres parallélépipèdes rectangles et cubiques. En effet, les nombres rectangles et carrés expriment la mesure des surfaces, et les nombres parallélépipède rectangles et cubiques expriment la mesure des solides. Au contraire, les nombres triangles, pentagones, hexagones, etc., de même que les nombres tétraèdres, pentaèdres, hexaèdres, etc., n'expriment rien qu'une disposition imaginaire des unités dans l'espace. Par exemple, le nombre triangle dont le coté est 2, c'est-à-dire le nombre 3, n'exprime pas l’aire du triangle régulier dont le côté est 2; le nombre triangle dont le côté est 3, c'est-à-dire le nombre 6, n'exprime pas l'aire du triangle régulier dont le côté est 3, etc. De même le nombre pentagone dont le côté est 2, c'est-à-dire le nombre 5, n'exprime pas l'aire du pentagone régulier, dont le côté est 2 ; le nombre pentagone dont le côté est 3, c'est-à-dire le nombre 12, n'exprime pas l’aire du pentagone régulier dont le côté est 3, etc. Il en est de même pour les autres nombres polygones, à l'exception seulement des nombres rectangles et carrés, qui expriment les aires des figures, correspondantes.

La loi de formation des nombres triangles, carrés, pentagones, etc., telle qu'elle est indiquée par Nicomaque, aussi bien que par Jamblique et par Théon de Smyrne, se résume dans les tableaux suivants:

NOMBRES TRIANGLES

NOMBRES CARRÉS

NOMBRES PENTAGONES

Les nombres hexagones, heptagones, octogones, etc., donneraient lieu à des tableaux analogues. Ces tableaux s'expliquent par les observations suivantes:

1° Chaque nombre de la série naturelle est le côté du nombre polygone correspondant.

2° Chaque série de nombres polygones commence par l'unité, qui, suivant une expression empruntée à la Métaphysique d'Aristote, n'est un nombre triangle, carré, pentagone, etc., qu'en puissance (δυνάμει), c'est-à-dire virtuellement, tandis que les nombres suivants de chacune de ces séries sont triangles, carrés, pentagones, etc., en acte (ἑνεργεία) c’est-à-dire effectivement. Chaque nombre polygone d’une même série contient le nombre polygone précèdent, plus la différence, et par conséquent chacun de ces nombres est la somme de toutes les différences précédentes.

3° Ainsi les différences sont en même temps les nombres composants des nombres polygones. Les nombres composants ou différences forment des séries dont le premier terme est toujours l'unité, et dans lesquelles chacun des nombres suivants est égal au précédent + 1 pour la formation des nombres triangles, au précédent + 2 pour la formation des nombres carrés, au précédent + 3 pour la formation des nombres pentagones, au précèdent + m – 2 pour la formation des nombres qui ont un nombre m de côtés.

4° Le côté de chaque nombre polygone a autant d'unités qu'il y à de nombres composants compris dans le nombre composants compris, dans le nombre polygone correspondant. Les noms de triangles, de carrés, de pentagones, etc., donnés à ces nombres, s’expliquent par des figures géométriques, où les unités, représentées par des points, sont distribuées régulièrement, de manière à montrer comment chaque nombre polygone d'une série comprend le nombre polygone précédent plus la différence, et est la somme de toutes les différences ou nombres composants qui précédent. Les figures manquent ici dans les manuscrits, et dans les éditions de l’Introduction Arithmétique de Nicomaque; mais on les trouve dans l'édition du Commentaire de Jamblique et dans les deux éditions de l’Arithmétique de Théon de Smyrne.

Je les reproduis ici pour les triangles, les carrés et les pentagones, en joignant ensemble par de légers traits les points appartenant à chacun des nombres composants, afin de mettre en évidence ces nombres, qui, en s'ajouta ni, forment chaque nombre polygone. Les nombres de la série naturelle sont écrits sous le coté inférieur ; les nombres composants, on différences, sont écrits le long du côté adjacent vers la gauche; les nombres polygones suit écrits au-dessus de chaque figure:

On aurait des figures analogues pour les hexagones, heptagones, etc.

REMARQUES SUR LE CHAPITRE 20.

L'auteur a donné plus haut (II, 17, p. 129 de l'édition d'Ast) la définition de ce qu'il entend par rectangle oblong (ἐτερομὴκης): c'est un rectangle dont les deux côtés adjacents différent d'une unité seulement, comme: 1 x 2 = 2, 2 x 3 = 6, 3 x 4 = 12, 4 x 5 = 20, 5 x 6 = 30, 6 x 7 = 42, 7 x 8 =56, etc. Il vient de donner dans le chapitre précédent (II, 19, p. 134) un autre mode de formation de ces rectangles oblongs, par l'addition successive des nombres composants ou différences. Nous avons vu plus haut (chap. 9, Remarques) que les nombres composants ou différences des carrés sont les nombres de la série des nombres impairs. Les nombres composants ou différences des rectangles oblongs sont les nombres de la série des nombres pairs.

Tableau A

Ici, au commencement du chapitre 20, Nicomaque donne deux moyens d'obtenir la série des rectangles oblongs à l'aide de la série des carrés. Le premier procédé consiste à ajouter à chaque carré son côté; le second à retrancher de chaque carré le côté de ce même carré. En ajoutant, on a: 1 + 1 = 2; 4 + 2 = 6 ; 9 + 3 = 12, etc. Ce qui donne le tableau suivant:

Tableau B

En retranchant, on a: 1 – 1 = 0; 4 – 2 = 2; 9 – 3 =6; 16 – 4 = 12, etc. Ce qui donne le tableau suivant:

Tableau C

Les considérations que l'auteur présente ensuite sur le rôle de l’identité et de la diversité danS la série des carres et dans celle des rectangles oblongs, sur l'unité considérée comme principe d'identité et sur la dyade (nombre 2, facteur de tous les nombres pairs) considérée comme principe de diversité, ces considérations, dis-je, appartiennent a la philosophie de Platon, qui suivait en cela les traditions pythagoriciennes. En effet, sur les idées de même (ταὑτόν) et d'autre (θάτερον), d'identité (ταυτότης) et de diversité (ἑτεροτὴς) et sur la participation de tous les êtres à ces idées, on peut voir divers textes de Platon, par exemple le Sophiste (p. 250-260, Paris, 1578, in fol.) et le Timée (p. 25-27, même éd.). Les platoniciens donnaient à la multiplicité le nom de dyade indéfinie (δυὰς ἁόριστος). Il est donc naturel que la dyade et ses multiples, c'est-à-dire les nombres pairs soient considérés par le philosophe platonicien et pythagoricien Nicomaque comme participant surtout au principe de la multiplicité et de la diversité, tandis que l'unité et les nombres impairs participent surtout, suivant lui, au principe de l'unité et de l'identité. Dans le chapitre 9 et dans mes Remarques sur ce chapitre, nous avons vu que les nombres composants des carrés sont les nombres impairs, 1, 3, 5, 7, etc. Donc, suivant notre auteur, le carré a de l'affinité avec l’identité. Nous venons de voir que les nombres composants des rectangles sont les nombres pairs, 2, 4, 6, 8, etc. Donc, suivant lui, les rectangles ont de l'affinité avec la diversité.

L’auteur ajoute que, si l’on compare (voyez ci-dessus le Tableau C) les nombres de la série des carrés avec ceux de la série des rectangles, on trouve que, lorsqu’un nombre d'une de ces deux séries est moyen proportionnel par différence entre deux nombres de l'autre série, il n'est pas moyen proportionnel par quotient entre ces deux mêmes nombres et que lorsqu’il est moyen proportionnel entre eux par quotient, il ne l'est pas par différence; mais il l'est toujours de l'une ou de l'autre de ces deux manières. En effet, le carré 4 est moyen proportionnel par différence entre les rectangles 2 et 6; le carré 9 est moyen proportionnel par différente entre les rectangles 6 et 12; le carré 16 est moyen proportionnel par différence entre les rectangles 12 et 20; etc. D'un autre côté te rectangle 2 est moyen proportionnel par quotient entre les carrés 1 et 4; le rectangle 6 est moyen proportionnel par quotient entre les carrés 4 et 9; le rectangle 12 est moyen proportionnel par quotient entre les carrés 9 et 16, etc. Remarquons que l'auteur nomme rapport de qualité le rapport par quotient, et rapport de quantité le rapport par différence.

Il ajoute qu'une même différence entre un carré et un rectangle et entre ce même carré et un autre rectangle sera une fraction différente du plus grand des deux nombres, de telle sorte que le numérateur de chaque fraction étant 1, la différence des deux dénominateurs soit toujours d'une unité. En effet (voyez le Tableau C

4 – 2 = 2, et 6 – 4 = 2; mais = 4/2 =6/3. De même 9 – 6 = 3, et 12 — 9 = 3; mais 3 = 9/3 = 12/4.

De même encore 16 – 12 = 4, et 20 – 16 =4; mais 4 = 16/4 = 20/5, et ainsi de suite.

L'auteur remarque ensuite qu'étant donnée la progression dont la raison par quotient est 2, et la progression dont la raison par quotient est 3, on peut voir que dans chacune de ces deux progressions tous les nombres de rang impair et ces nombres seuls seront des carrés: ce qui prouve, suivant loi, que le carré a de l'affinité avec l'impair, et par conséquent avec l'unité et l’identité. Cette même affinité existe encore mieux, suivant lui, pour les cubes; car, suivant sa remarque, le premier nombre de la série des nombres impairs est 1, premier cube virtuel, la somme des deux nombres impairs suivants (3 + 5) donne le second cube 8 ; la somme des trois nombres impairs suivants (7 + 9 + 11) donne le troisième cube 27; la somme des quatre nombres impairs suivants (13 + 15 + 17 + 19) donne le quatrième cube 64, et ainsi de suite.

Je pense que ces remarques sur les chapitres 9 et 20 de l’Arithmétique de Nicomaque suffisent pour en expliquer le sens. Ces remarques étaient nécessaires, parce que ces deux chapitres touchent à des théories antiques, tout à fait étrangères à l'arithmétique moderne.

Rennes, le 12 janvier 1856.

H. Martin.